Exercicios de determinantes

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Álgebra Linear - Exercícios (Determinantes)

Índice
1 Teoria dos Determinantes 1.1 Propriedades . . . . . . . . . 1.2 Cálculo de Determinantes . . 1.3 Determinantes e Regularidade 1.4 Teorema de Laplace . . . . . 1.5 Miscelânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 6 8 11 16

2

1 Teoria dos Determinantes

1
1.1

Teoria dos Determinantes
Propriedades

Exercício 1 Considere as seguintes matrizes: · 5 2 3 −4 ¸ · 3 −6 2 3 ¸

A= a) Calcule |A| e |B|.

B=

b) Calcule |AB| sem realizar o produto AB. ¯ ¯ c) Calcule ¯A−1 ¯, se existir, sem calcular A−1 . Solução a) Dado que se tratammatrizes de ordem 2, utilizemos a ”regra da cruz”: ¯ ¯ ¯ 5 2 ¯ ¯ |A| = ¯ ¯ 3 −4 ¯ = 5 · (−4) − 2 · 3 = −26 ¯ ¯ ¯ 3 −6 ¯ ¯ |B| = ¯ ¯ 2 3 ¯ = 3 · 3 − (−6) · 2 = 21

b) Sabendo que |AB| = |A| |B|, teremos |AB| = |A| |B| = (−26) · 21 = −546. ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 c) Sabendo que ¯A−1 ¯ = |A| , teremos ¯A−1 ¯ = |A| = −26 = − 26 . Exercício 2 Seja A ∈ Mn (R) e |A| = 2. Determine ¯ ¯ a) ¯A2 ¯ b) |3A| ¯ ¯ c) ¯A−1 ¯¯ ¯ d) ¯Ak ¯ ¯ ¯ e) ¯AT ¯

b) |3A| = 32 · |A| = 9 · 2 = 18 ¯ ¯ 1 c) ¯A−1 ¯ = |A| = 1 2

Solução ¯ ¯ a) ¯A2 ¯ = |A| |A| = 2 · 2 = 4

3

1 Teoria dos Determinantes ¯ ¯ k d) ¯Ak ¯ = |A| = 2k ¯ ¯ e) ¯AT ¯ = |A| = 2

Exercício 3 Mostre, calculando directamente os determinantes, as seguintes igualdades: ¯ ¯ ¯ a1 a2 a3 ¯ ¯ ¯ a) ¯ a1 a2 a3 ¯ = 0 ¯ ¯ ¯ c1 c2 c3 ¯ ¯ ¯ ¯ a1 a2 a3 ¯ ¯ ¯ b) ¯ b1 b2b3 ¯ = 0 ¯ ¯ ¯ a1 a2 a3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1 a2 ¯ ¯ ¯ ¯ = − ¯ b1 b2 ¯ c) ¯ ¯ a1 a2 ¯ b1 b2 ¯ Solução

Exercício 4 Seja A a matriz a seguir indicada onde a, b e c são escalares não nulos. Adicionalmente, seja C uma matriz de ordem 3 tal que |C| = 0.  a 0 0 A= 0 b 0  0 0 c 

b) Utilizemos a regra de Sarrus: ¯ ¯ ¯ a1 a2 a3 ¯ ¯ ¯ ¯ b1 b2 b3 ¯ = a1 b2 a3 + a2 b3 a1 + a3 b1 a2 − a3 b2 a1 − a2 b1 a3− a1 b3 a2 = 0 ¯ ¯ ¯ a1 a2 a3 ¯ ¯ ¯ ¯ a a2 ¯ ¯ c) ¯ 1 ¯ b1 b2 ¯ = a1 b2 − a2 b1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b1 b2 ¯ ¯ = − (b1 a2 − b2 a1 ) = b2 a1 − b1 a2 = a1 b2 − a2 b1 = ¯ a1 a2 ¯ ¯ −¯ ¯ b1 b2 ¯ ¯ a1 a2

a) Utilizemos a regra de Sarrus: ¯ ¯ ¯ a1 a2 a3 ¯ ¯ ¯ ¯ a1 a2 a3 ¯ = a1 a2 c3 + a2 a3 c1 + a3 a1 c2 − a3 a2 c1 − a2 a1 c3 − a1 a3 c2 = 0 ¯ ¯ ¯ c1 c2 c3 ¯

a) Calcule |A|.

4

1 Teoria dosDeterminantes ¯ ¯ b) Calcule ¯A−1 ¯. ¯ ¯ c) Calcule ¯AT ¯.

d) Calcule |AC|. ¯ ¯ ¯ 0 0 a ¯ ¯ ¯ e) Calcule ¯ 0 b 0 ¯. ¯ ¯ ¯ c 0 0 ¯ Solução a) |A| = abc, porque A é uma matriz diagonal, logo o detreminante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. ¯ ¯ 1 b) ¯A−1 ¯ = abc , se A for regular. ¯ ¯ ¯ ¯ c) ¯AT ¯ = |A|, logo ¯AT ¯ = abc.

d) |AC| = |A| |C|, logo |AC| = (abc) · 0 = 0. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0a ¯ ¯ 0 0 a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ e) ¯ 0 b 0 ¯ resulta de A por troca das linhas 1 e 3, logo ¯ 0 b 0 ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c 0 0 ¯ ¯ c 0 0 ¯ − |A| = −abc. Alternativamente, poderemos aplicar a regra de Sarrus para verificar que o único termo não nulo da matriz A é o termo abc, de paridade ímpar, donde o resultado.

Exercício 5 Considere uma matriz A, quadrada de ordem n. Sejam também as seguintes matrizes: B1 , quese obtém de A somando à linha i desta matriz uma constante k; B2 , que se obtém de A subtraindo à linha i desta matriz a mesma constante k. Mostre que: |A| = 1 (|B1 | + |B2 |) 2

Solução Exercício 6 Sejam a, b, c, e, f, p, q, r, s, t, u ∈ R quaisquer escalares. Calcule o determinante da seguinte matriz:   p 0 0 a b c  0 d e  q r 0  s t u 0 0 f 

5

1 Teoria dos DeterminantesSolução Sabendo que   = |A| |B|,¯ teremos: |AB| ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ¯ a b c p 0 0 ¯ ¯ a b c ¯ ¯ p 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 d e   q r 0 ¯ = ¯ 0 d e ¯ · ¯ q r 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 f s t u ¯ ¯ 0 0 f ¯ ¯ s t u ¯ Sabendo agora que o determinante de uma matriz triangular superior (ou inferior) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, teremos: ¯ ¯ ¯ a b c ¯ ¯ ¯ ¯ 0 d e ¯ = adf ¯ ¯...
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