Exercicios comentados de matematica aplicada

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´ Prefacio
´ ´ O conteudo deste livro e o mesmo das 10 aulas que foram dadas pelos autores a professores que atuam no Ensino M´ dio no Rio de e Janeiro, em janeiro de 2001. ˜ O curso durou uma semana, com duas aulas em cada manha ` enquanto as tardes eram dedicadas a resolucao e a discuss˜ em ¸˜ ao conjunto dos exerc´cios propostos. ı Todos os problemas aqui apresentados tˆ m respostas compleetas no final. A Sociedade Brasileira de Matem´ atica disp˜ e de um conjunto o ˜ de 10 v´deos nos quais estao gravadas, ao vivo, as aulas. As pesı soas e instituicoes interessadas na aquisicao dos mesmos podem ¸˜ ¸˜ ` dirigir-se a SBM nos enderecos que constam no presente volume. ¸ ` Ao pˆ r este material a disposicao dos professores e estudano ¸˜ ´ tes universitarios que se preparam para o exerc´ciodo magist´ rio, ı e ´ a intencao dos autores e a de destacar alguns temas usualmen¸˜ te estudados no Ensino M´ dio, mostrando que, ao lado de sua e conceituacao apropriada, eles podem ser ilustrados por meio de ¸˜ ı e problemas simples, acess´veis, por´ m desafiadores e contextuais. Evidentemente, trata-se de uma pequena amostra, indicando um f´ rtil e atraente caminho a ser trilhado. e Mais umavez, as atividades que realizamos, o livro publicado e os v´deos gravados devem sua existˆ ncia em grande parte a ı e ` ´ VITAE, ao IMPA e a SBM. A estas notaveis instituicoes, o agra¸˜ decimento dos autores. Rio de Janeiro, junho de 2001 Elon Lages Lima Paulo Cezar P. Carvalho Eduardo Wagner Augusto C´ sar Morgado e

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Cap´tulo 1 ı

Proporcionalidade e Funcoes Afins ¸˜
´ Em seu livro“Elementos de Algebra”, publicado em S˜ Petersao burgo em 1770, o grande matem´ atico Leonardo Euler prop˜ e o o seguinte problema: ´ ` Uma lebre esta 50 pulos a frente de um cachorro, o qual ´ da 3 pulos no tempo que ela leva para dar 4. Sabendo que 2 pulos do cachorro valem 3 da lebre, quantos pulos ele deve dar para peg´ a-la? ´ ˜ Este e um exemplo de questao que se refere a proporcionalidade,assunto que exporemos a seguir.

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Proporcionalidade

Diz-se que duas grandezas s˜ proporcionais quando existe uma ao correspondˆ ncia x → y, que associa a cada valor x de uma delas e um valor y bem definido da outra, de tal modo que sejam cumpridas as seguintes condicoes: ¸˜ ´ ´ 1) Quanto maior for x, maior sera y. Em termos matematicos: ˜ se x → y e x → y entao x < x implica y < y . 2) Sedobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x ent˜ o valor ao ´ correspondente de y sera dobrado, triplicado, etc. Na lingua´ ˜ gem matematica: se x → y entao nx → ny para todo n ∈ N. Nas condicoes acima, a correspondˆ ncia x → y chama-se uma ¸˜ e proporcionalidade. 3

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Temas e Problemas

Exemplo 1. Sejam x o volume e y o peso de uma porcao de um ¸˜ l´quido homogˆ neo. A correspondˆ ncia x → ycumpre claramente ı e e ´ as duas condicoes acima, logo o volume e proporcional ao peso. ¸˜ Exemplo 2. Sejam r e s retas paralelas. Dado qualquer retˆ angulo que tenha dois lados contidos nessas retas, chamemos de x o com´ ˆ primento de um desses lados e z a area do retangulo.

s z r
Figura 1

´ A correspondˆ ncia x → z e uma proporcionalidade. Ou seja: e ´ ´ ´ quando a altura de um retˆ anguloe fixada, sua area z e proporcio` nal a base x. ˜ ´ Com efeito, em primeiro lugar, se x < x entao a area z do ˆ ´ ` ´ ˆ retangulo de base x e igual a area z do retangulo de base x mais ´ ˆ a area de um retangulo de base x − x, logo z < z . ˆ Em segundo lugar, um retangulo de base n · x pode ser expres˜ ˆ so como reuniao de n retangulos justapostos de base x (e mesma ´ ´ ´ area z) logo sua area e n· z. ´ Observacao. A afirmacao contida no Exemplo 2 e uma conse¸˜ ¸˜ ¨e ´ ˆ quˆ ncia imediata da f´ rmula que exprime a area de um retangulo o ´ como o produto da base pela altura. Esta e, entretanto, uma justi´ ficativa a posteriori. N˜ e conveniente usa-la no presente contexao ´ to pois, na verdade, o primeiro passo da deducao daquela f´ rmula ¸˜ o ´ e a verificacao da proporcionalidade acima....
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