Exercicios cilindro

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LISTA DE EXERCÍCIOS: CILINDROS - GABARITO

1. (UFMG-03) Um aquário cilíndrico, com 30cm de altura e área da base igual a 1200cm2, está com água até a metade de sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de modo que fiquem totalmente submersas, o nível da água sobe para 16,5cm. Então, calcule o volume das pedras.   
Solução. O nível de água sobe porqueo volume aumenta. Essa diferença na altura do líquido está relacionada ao volume das pedras. Logo, o volume das pedras é a diferença entre o volume inicial (sem as pedras) e o final (com as pedras).
i) Capacidade: [pic]. Como está pela metade, Vi = 1800cm2. Logo a altura inicial é [pic]
ii) Com as pedras essa altura subiu para 16,5m. Logo as pedras elevaram em 1,5cm o nível da água. Com essadiferença o volume das pedras vale:
[pic]
 
2. Um sólido é totalmente mergulhado em um cilindro contendo água, causando a elevação do nível da água em 1,5 cm. Se o raio da base do cilindro mede 5 cm, qual o volume do sólido?
Solução. O raciocínio é o mesmo que o anterior. A diferença de 1,5 entre a altura anterior e a atual refere-se ao objeto mergulhado. Logo o volume desse objeto é o produto daárea da base pela altura de elevação. Substituindo os valores temos: [pic]
  
3. Um fabricante de doces utiliza duas embalagens, X e Y, para acondicionar seus produtos. A primeira (X) tem formato de um cubo com aresta de 9cm, e a segunda (Y) tem formato de um cilindro reto cujas medidas da altura e do diâmetro da base medem, cada uma, 10cm. Que embalagem possui maior volume?
Solução. O volumedo cubo é o produto de suas dimensões, que são todas iguais. Temos:
i) [pic]
ii) Se o diâmetro da base do cilindro vale 10cm, então o raio vale 5cm. Logo, [pic]
Logo a embalagem de maior volume é a Y.
  
4. Uma certa marca de leite em pó era vendida em uma embalagem, completamente cheia, no formato de um cilindro circular reto de altura 12cm e raio da base 5cm , pelo preço de R$4,00. Ofabricante alterou a embalagem, aumentando em 2cm a altura e diminuindo em 1cm o raio da base, mas manteve o preço por unidade. Então, na realidade, o preço do produto aumentou aproximadamente de quantos por cento?
Solução. Para comparar um aumento na forma percentual de uma grandeza para outra, calculamos a razão entre a diferença das medidas e a medida inicial.
Exemplo. Se um produto custa R$45,00 epassa a custar R$75,00. O aumento é de [pic]. Essa relação será utilizada no exercício.


Pelas informações do problema, a forma das embalagens foi modificada.
Calculando os dois volumes, temos:
i) Volume inicial: [pic]
ii) Volume final: [pic]
Repare que apesar de aumento da altura, o volume diminuiu com a redução do raio. Como o preço ficou o mesmo, é claro que o custo para o consumidoraumentou. Utilizando a razão explicada anteriormente, temos: [pic]
OBS: Para ser honesto o preço da nova caixa deveria ser mais baixo. Isto é, deveria custar: [pic].
Da mesma forma calculamos o aumento [pic]

5. Num cilindro de 5cm de altura, a área da base é igual à área de uma seção por um plano que contém o eixo do cilindro, tal como a seção ABCD na figura. Qual o volume desse cilindro?Solução. Observando a figura percebe-se que o lado CD vale o diâmetro da base. Logo, CD = 2R, onde R = raio da base. A seção é um retângulo de base 2R e altura 5cm. Calculando as áreas, temos:
i) [pic]
ii) [pic]. Igualando as áreas: [pic]
O volume do cilindro será, então: [pic]
6. Quantos centímetros quadrados de folha de flandres são necessários para construir uma lata de óleo, com tampa, naforma de um cilindro reto, tendo 8cm de diâmetro de base e 18cm de altura?
Solução. A folha de flandres é retangular, pois é a planificação do cilindro. O comprimento vale 2πr e a largura mede a altura. Logo ao construirmos o cilindro a área total será a área do retângulo.
Área total: Soma das áreas das base com a área lateral do cilindro.

[pic]




7. Se triplicarmos o raio da base de...
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