estática

ESTÁTICA DOS CORPOS
RÍDIGOS
AULA_02
Duração: 4h
Prof. Oscar A. Garcia

PRODUTO VETORIAL
Dados vetores u e v de R3 define-se produto vetorial: y w = u×v u = u i +u j+u k x y

π u w

x

v = v i+v j+v k x y

θ

x

j

w = u v sen (θ )

k z i

j

k

w = ux

uy

uz =

vx

vy

vz

uy uz vy

uz i+ ux vz ux vz j+ uy vx

vx vy k

i v x

PRODUTO VETORIAL
O modulo do produto vetorial é igual a área do paralelo grama definido na
Figura abaixo u θ h A

A = u v sen (θ )

v
Propriedades do produto vetorial: Sejam os vetores u, v e w de R3 e λ um real.

•

u × ( v + w) = u × v + u × w

•

(u + v ) × w = u × w + v × w u × ( λ v ) = ( λu ) × v = λ ( u × v )

•

• u × v = −v × u

MOMENTO DE UMA FORÇA
COM RELAÇÃO AO UM POLO
M oz = r × F

PROBELMA EM R2

M oz = r F sen (θ )
Momento negativo -z y Momento positivo +z y F θ θ x x

r

r
Ο

Ο

F

MOMENTO DE UMA FORÇA
COM RELAÇÃO AO UM POLO
Teorema de Varignon: Os momentos de uma força F com relação a um ponto (ou pólo) é igual é igual ao somatório dos momentos produzidos pelas componentes deste força com relação ao ponto.
Observe que o teorema de Varignon é uma aplicação da primeira propriedade do produto vetorial.

M oz = r × F
F = P +Q
M oz = r × ( P + Q ) = r × P + r × Q

MOMENTO DE UMA FORÇA
COM RELAÇÃO AO UM POLO
Determinar o momento no ponto O da figura utilizando uma formulação direta e depois o teorema de Varignon.
2m
40º
600N
4m

O

MOMENTO DE UMA FORÇA
COM RELAÇÃO AO UM POLO
Binário: É o momento num ponto O produzido por duas forças colineares e opostas O

-F a d

F

M o = F ( a + d ) − Fa = Fd

-F
O

rB r rA

F

M = r × F + r × ( −F ) = ( r − r ) × F = r × F
A

B

A

B

MOMENTO DE UMA FORÇA
COM RELAÇÃO AO UM POLO
Binários Equivalentes: Dizemos que os binários produzidos por dois sistemas de forças e equivalente