estudos das elpse

COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ

Portal Professor /Cônicas - Elipse - 2009

SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA

www.cap.ufrj.br/matematica

Cônicas - Elipse
Sejam um plano e dois pontos distintos e fixos F1 e F2, neste plano.

A cônica denominada elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é constante, ou seja, qualquer ponto P do plano que satisfaz à condição F1P + PF2 = k , pertence à elipse .
Acesse a atividade a seguir para visualização dos conceitos apresentados: Atividade 1: Cônicas – Elipse
Elementos da Elipse:
Observe os elementos da elipse na figura abaixo:

•

F1 e F2 : focos

•

d (F1, F2) = F1F2 : distância focal : 2c

•

C: centro (ponto médio de F1F2 )

•

A1, A2, B1, B2 : vértices

•

A1A2 :

eixo maior : 2a

(contém focos e extremos)

•

B1B2

eixo menor : 2b

(é perpendicular a A1A2 pelo centro C, logo A1A2 i B1B2 = 0 )

•

e : excentricidade:

:

e =

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Observações:
1) Percebe-se que d ( F1, F2 ) < d ( A1, A2 ), isto é, F1F2 < A1A2 , portanto, 2c < 2a.
Então, temos: c < a. Donde se conclui que 0 < e =

c
< 1. a 2) Observando o gráfico acima percebemos que A1A2 > B1B2 , daí 2a > 2b, logo, na elipse, a > b.

3) Como A1 e A2 são pontos da elipse e A1 A2 = 2a , então se o ponto P estiver no vértice A1 ou A2 , temos

PF1 + PF2 = 2a

Dedução da equação da elipse com centro em (0,0):
1O caso: Eixo maior coincide com o eixo Ox
Sejam P = ( x, y ), F1 = ( -c, 0 ) e F2 = ( c, 0 ).
F1P + PF2 = 2a
F1P = ( x + c, y ) e x2 + 2xc + c2 + y2 +

(

PF2 =

c – x, − y

)

c2 − 2xc + x2 + y2 = 2a

x2 + 2xc + c2 + y2 = 2a –

c2 − 2xc + x2 + y2

x2 + 2xc + c2 + y2 = 4a2 – 4a

c2 − 2xc + x2 + y2 + c2 − 2xc + x2 + y2

c2 − 2xc + x2 + y2 = 4a2 – 4cx

4a

c2 − 2xc + x2 + y2 = a2