Estudo

APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DE EULER-LAGRANGE Eliomar Corrêa Caetano
Universidade Católica de Brasília Orientador: Cláudio Manoel Gomes de Sousa RESUMO Neste trabalho estudamos três aplicações das equações de Euler-Lagrange, sendo duas para osciladores harmônicos, o pêndulo simples e o sistema massa-mola, ambos abordados em sua forma trivial, sem forças externas e dissipativas, e a terceira aplicação, que é o principal objetivo desse trabalho, consiste na busca de uma equação que esteja associada ao movimento de uma partícula a cada instante, quando esta, percorre a rampa de um escorregador (“tobogã”). Para esse último caso, a equação diferencial resultante foi resolvida pela utilização de métodos numéricos, onde apresentamos o código utilizado para a solução com auxílio de computação algébrica. Palavras-chave: energia; equações de Euler-Lagrange.

1. INTRODUÇÃO Existe um parque situado na cidade de Brasília, capital do Brasil, onde encontramos um brinquedo que, talvez, chame a atenção de quem já estudou um pouco de equações diferenciais. Trata-se da rampa de um escorregador, que está ilustrada a seguir:

Figura 1 – Uma idéia de como seria o escorregador. Para uma curva desse tipo, poderíamos fazer a seguinte pergunta: É possível encontrar uma equação que esteja associada ao movimento da partícula que descreve o trajeto da rampa em um instante qualquer? Denotaremos esta questão como o “Problema do Escorregador”. Em princípio, ao tentarmos responder a pergunta anterior, teremos a situação de que as forças que atuam no sistema são variantes, por exemplo, a força normal, a força peso, entre outras. Mesmo com esse impasse é possível persistir no problema, visto que no decorrer da história, por volta de 1686, Johann Bernoulli propôs a seguinte questão: Considere uma partícula de massa m , deslizando sob a ação da gravidade, ao longo de uma certa curva Γ do ponto P ao ponto Q , que estão fixados.Se a partícula parte do repouso, qual deve ser a forma de Γ para que o