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APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DE EULER-LAGRANGE Eliomar Corrêa Caetano
Universidade Católica de Brasília Orientador: Cláudio Manoel Gomes de Sousa RESUMO Neste trabalho estudamos três aplicações das equações de Euler-Lagrange, sendo duas para osciladores harmônicos, o pêndulo simples e o sistema massa-mola, ambos abordados em sua forma trivial, sem forças externas e dissipativas, e a terceiraaplicação, que é o principal objetivo desse trabalho, consiste na busca de uma equação que esteja associada ao movimento de uma partícula a cada instante, quando esta, percorre a rampa de um escorregador (“tobogã”). Para esse último caso, a equação diferencial resultante foi resolvida pela utilização de métodos numéricos, onde apresentamos o código utilizado para a solução com auxílio de computaçãoalgébrica. Palavras-chave: energia; equações de Euler-Lagrange.

1. INTRODUÇÃO Existe um parque situado na cidade de Brasília, capital do Brasil, onde encontramos um brinquedo que, talvez, chame a atenção de quem já estudou um pouco de equações diferenciais. Trata-se da rampa de um escorregador, que está ilustrada a seguir:

Figura 1 – Uma idéia de como seria o escorregador. Para uma curva desse tipo,poderíamos fazer a seguinte pergunta: É possível encontrar uma equação que esteja associada ao movimento da partícula que descreve o trajeto da rampa em um instante qualquer? Denotaremos esta questão como o “Problema do Escorregador”. Em princípio, ao tentarmos responder a pergunta anterior, teremos a situação de que as forças que atuam no sistema são variantes, por exemplo, a força normal, aforça peso, entre outras. Mesmo com esse impasse é possível persistir no problema, visto que no decorrer da história, por volta de 1686, Johann Bernoulli propôs a seguinte questão: Considere uma partícula de massa m , deslizando sob a ação da gravidade, ao longo de uma certa curva Γ do ponto P ao ponto Q , que estão fixados.Se a partícula parte do repouso, qual deve ser a forma de Γ para que o tempo dopercurso seja mínimo? Despreze o atrito e outras forças dissipativas (Butkov, 1983).

Figura 2 – A partícula percorrendo do ponto P ao ponto Q . O próprio Johann Bernoulli resolveu esse problema. A curva que determina esse tempo ótimo é chamada de braquistócrona. A semelhança entre o referido problema de Bernoulli e o problema do escorregador é que, ambos pretendem que uma partícula descrevaum determinado trajeto. Como foi resolvido o problema da braquistócrona, é natural pensar acerca do problema do escorregador. Uma maneira de resolver o problema da braquistócrona é por meio das equações de EulerLagrange (Butkov, 1983). Essas equações são derivadas da energia cinética e potencial gravitacional da partícula. 1.1. Euler-Lagrange Para um sistema conservativo (onde somente atuam forçasconservativas) é possível escrever uma função da posição e da velocidade de uma partícula, denominada energia mecânica, que se conserva durante todo o movimento. Sejam
1 2 mv , 2 V = mgh , a energia cinética(T ) e a energia potencial gravitacional( V ), respectivamente, do sistema, em que as variáveis envolvidas são m : massa da partícula, v : velocidade da partícula, g : aceleração da gravidade,h : altura da partícula (posição); então a energia mecânica é definida por E = T +V . A energia que um corpo possui quando está em movimento é denominada energia cinética e, a energia potencial gravitacional, é aquela que um corpo possui quando está situado a uma determinada altura da superfície da Terra (Tipler, 2000). T= As leis da mecânica são tais que, a posição e a velocidade de umapartícula combinam suas variações, de modo que E não se altera. Consideremos uma outra função das variáveis de movimento de um sistema conservativo, a lagrangiana L , definida por

L = T −V . (1) A lagrangiana tem as mesmas dimensões da energia, ou seja, no Sistema Internacional sua unidade de medida é o Joule.

Observe que, se uma pedra de massa m estiver caindo a partir do repouso, de uma...
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