Estudante

Métodos Numéricos I - 2ª Tarefa Nome: Rafael Cruz viana de Oliveira Matrícula: 0301416

(1) f(x) = x³ - 9*x + 3 => 3 raizes * Isolamento: x -4 -3 0 f(x) Logo: ξ1 Є [-4;-3] ξ2 Є [0;1] ξ3 Є [2;3] + + 1 2 3 +

1

* Método da Bisseção no intervalo [0;1] com ε = ε1 = ε2 = 0,1:

k

ak

bk

ξk

|f(ξk)|

|bk - ak| Cálculos:

0

0

1

0,5

1,375

1

ξ0 = (0+1)/2 = 0,5 f(a0) = f(0) = +3 f(ξ0) = f(0,5) = -1,375 f(b0) = f(1)= -5 Como f(a0)*f(ξ0) f(ξ1) = f(1) = -5 (0) * (-5) - (1) * (+3) ξ2 = --------------------------(-5) - (+3) ξ2 = 0,375 f(ξ2) = (0,375) = -0,322265 (1) * (-0,322265) - (0,375) * (-5) ξ3 = ----------------------------------------(-0,322265) - (-5) ξ3 = 0,331941 f(ξ3) = (0,331941) = 0,049105

1 0,331941 0,049105

0,043059

(0,375) * (0,049105) - (0,331941) * (-0,322265) ξ4 = -----------------------------------------------------------2 0,337634 0,000216 0,005693 (0,049105) - (-0,322265) ξ4 = 0,337634 f(ξ4) = (0,337634) = -0,000216 Como |f(ξ4)| < ε, então pare. ξ = ξ4 = 0,337634.

6

* Método dos Polinômios no intervalo [0;1] com ε = ε1 = ε2 = 0,0005:

7

(2) f(x) = x - x*ln(x) D = {f(x) Є R | x > 0} ε = 0,00001 * Isolamento: x 1

2

2,5

3 -

f(x) + + + Logo: existe raiz Є [2,5;3] f'(x) < 0, para todo x Є [2,5;3] => raiz única

a) Método de Newton-Raphson no intervalo [2,5;3] com ε = 0,00001: ξ0 = (2,5+3)/2 = 2,75 k ξk |f(ξk)| |ξk+1-ξk| Cálculos:

0

2,75

f(ξ0) = f(2,75) = -0,031902 f'(ξ0) = f'(2,75) = -1,011600 0,031902 0,031536 ξ1 = ξ0 - f(ξ0)/f'(ξ0) ξ1 = (2,75) - (-0,031902)/(-1,011600) = 2,718464

f(ξ1) = f(2,718464) = -0,000182 f'(ξ1) = f'(2,718464) = -1,000067 1 2,718464 0,000182 0,000181 ξ2 = ξ1 - f(ξ1)/f'(ξ1) ξ2 = (2,718464) - (-0,000182)/(-1,000067) = 2,718283 2 2,718283 0,000001 f(ξ2) = f(2,718283) = -0,000001

Como |f(ξ2)| < ε, então pare. ξ = ξ2 = 2,718283.

8

b) Método do Ponto Fixo no intervalo [2,5;3] com ε = 0,00001: Função de iteração: φ(x) = x/ln(x) Condições de