estruturas sequenciais

LISTA DE EXERCÍCIOS DE POLIEDROS - GABARITO

1) Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces têm de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos?

Solução. Encontramos o número de vértices pela fórmula da soma dos ângulos das faces: S = (V – 2).360º

Utilizando a relação de Euler A + 2 = F + V e, substituindo pelos valores , calculamos o número de vértices.

Considerando “x” o número de faces quadrangulares e “y” o de faces pentagonais forma-se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces.

Logo possui 5 faces quadrangulares e 2 pentagonais.

2) Calcule em graus a soma dos ângulos das faces de um:

a) tetraedro b) hexaedro c) octaedro d) dodecaedro e) icosaedro

Solução. Em cada caso utiliza-se a fórmula S: (V – 2).360º

a) tetraedro possui 4 vértices. Logo, .
b) hexaedro possui 8 vértices. Logo, .
c) octaedro possui 6 vértices. Logo, .
d) dodecaedro possui 20 vértices. Logo, .
e) icosaedro possui 12 vértices. Logo, .

3) Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas têm de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos?

Solução. Problema semelhante ao número (1).

i) ii) ii) Considerando “x” o número de faces triangulares e “y” o de faces heptagonais forma-se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces.

iii) Logo possui 7 faces triangulares e 5 heptagonais.
4) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 720º. Calcule o número de faces, sabendo que é 2/3 do número de arestas?
Solução. Calculando o número de vértices, temos: . Pela relação de Euler, A + 2 = V + F. Substituindo pelas informações, vem:

. Logo, F = 4.

5) Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é igual a 2160°. Determine o número de faces de cada espécie desse