Estrutura algebrica

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1 An¶eis e Corpos
Consideraremos nesta se»c~ao estruturas alg¶ebricas da forma (A;+; ¢), onde A ¶e um conjunto
e + e ¢ s~ao duas opera»c~oes em A. Em geral, vamos somente notar por A (ou uma outra
letra mai¶uscula qualquer) a nossa estrutura, ¯cando subtendido que as opera»c~oes ser~ao sempre
representadas por + e ¢, visto que estas opera»c~oes cumprem o papel da soma e produto que
estamosacostumados a trabalhar. Come»camos com a seguinte de¯ni»c~ao.
De¯ni»c~ao 1.1. Sejam (A;+; ¢) um conjunto munido de duas opera»c~oes. Dizemos que A ¶e um
anel, se:
(i) + ¶e associativa;
(ii) + possui elemento neutro (O elemento neutro de + ser¶a denotado por 0);
(iii) + possui elemento sim¶etrico (O sim¶etrico de um elemento a 2 A em rela»c~ao a opera»c~ao
+ ser¶a notado por ¡a);
(iv) + ¶ecomutativa;
(v) ¢ ¶e associativa;
(vi) ¢ ¶e distributiva em rela»c~ao µa +.
Observa»c~ao 1.2. Se, al¶em disso, ainda valer as condi»c~oes abaixo, diremos, em cada caso, que:
(vii) A ¶e um anel comutativo, se ¢ ¶e comutativa.
(viii) A ¶e um anel com unidade, se a opera»c~ao ¢ possui elemento neutro distinto do elemento
0, o qual ser¶a chamado de unidade do anel e notado por 1.
Vejamos algunsexemplos.
Exemplo 1.3. Considere Z com as opera»c~oes usuais de soma e multiplica»c~ao. Pelo que j¶a
¯zemos no curso, ¯ca claro que Z ¶e um anel comutativo com unidade.
1
Exemplo 1.4. Considere o conjunto M2£2(A) =
½·
a b
c d
¸
: a; b; c; d 2 A
¾
, onde A ¶e um
anel, com as opera»c~oes usuais de soma e multiplica»c~ao de matrizes. Podemos veri¯car facil-
mente que isto ¶e um anel n~aocomutativo com unidade. ¶E
claro que podemos naturalmente
estender este exemplo para matrizes quadradas de ordem qualquer.
Exemplo 1.5. Considere Z=nZ = f0; 1; 2; :::; n ¡ 1g, com as opera»c~oes induzidas pela soma e
multiplica»c~ao de inteiros. Pelo que j¶a estudamos antes, ¯ca claro que este ¶e um anel comutativo
com unidade.
Exemplo 1.6. Considere 2Z = f2n : n 2 Zg, com as opera»c~oesusuais de soma e multiplica»c~ao
de inteiros. ¶E
f¶acil veri¯car que 2Z ¶e um anel comutativo sem unidade.
Veja que no exemplo acima, temos um subconjunto de um anel que, restringindo µas opera»c~oes,
ele pr¶oprio pode ser visto como um anel. Isto sujere uma nova de¯ni»c~ao.
De¯ni»c~ao 1.7. Sejam A um anel e B µ A tal que B 6= ;. Dizemos que B ¶e um subanel de A
se B, com as opera»c~oes de A,tem a estrutura de um anel, isto ¶e, se as opera»c~oes de A de¯nem
uma fun»c~ao de B £ B em B, satisfazendo as propriedades que de¯nem um anel.
Exemplo 1.8. Considere A o anel das matrizes 2 £ 2 com entradas em R e B o subconjunto
das matrizes cuja segunda linha ¶e sempre nula, isto ¶e,
B =
½·
a b
0 0
¸
: a; b 2 R
¾
Fica como um exerc¶³cio mostrar que B ¶e um subanel (sem unidade) de A.Apresentamos abaixo um resultado que nos ¶e ¶util quando procuramos exemplos de suban¶eis.
O leitor ¶e convidado a veri¯car que as condi»c~oes da proposi»c~ao abaixo s~ao satisfeitas nos exem-
plos que se seguem, onde se a¯rma que um dado conjunto ¶e um subanel de algum outro anel e
nada ¶e veri¯cado.
Proposi»c~ao 1.9. Sejam A um anel e B um subconjunto de A. Ent~ao, B ¶e um subanel de Ase, e somente se, as seguintes condi»c~oes s~ao satisfeitas:
2
(i) 0 2 B;
(ii) Se a; b 2 B, ent~ao a ¡ b 2 B;
(iii) Se a; b 2 B, ent~ao ab 2 B.
Prova: Suponhamos B um subanel de A. Ent~ao B 6= ;. Assim, existe x 2 B. Como B ¶e
um anel, segue que ¡x 2 B, e da¶³ segue que 0 = x+(¡x) 2 B, e vale (i). Agora, dados a; b 2 B,
temos que ¡b 2 B, pela argumenta»c~ao acima e, como B ¶e anel, temos a +(¡b) = a ¡ b 2 B,
mostrando (ii). A condi»c~ao (iii) ¶e claramente verdadeira, pois B ¶e um anel com as opera»c~oes
de A, logo a multiplica»c~ao ¶e fechada em B.
Reciprocamente, suponhamos que B ¶e um subconjunto de A satisfazendo as tr^es condi»c~oes
da proposi»c~ao. Ent~ao, de i), temos que B 6= ;. A condi»c~ao (iii) garante que ¢ ¶e uma opera»c~ao
em B. Para vermos que + tamb¶em ¶e uma...
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