Estimadores

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Estimadores Não Viesados 4
Matérias: Estatística, Estimadores, Inferência Estatística Nível de dificuldade: Médio Fonte: MAE0311-L1 Palavras-chave: distribuição uniforme, EQM, erro quadrático médio | 0 comentário
Seja X 1 ,…,X n uma amostra aleatória de tamanho n da distribuição de uma variável aleatória X∼U(0,θ) . Considere os estimadores θ ˆ 1 =c 1 X − − e θ ˆ 2 =c 2 X (n) .
a) Encontre c 1e c 2 que tornam os estimadores não viciados.
No primeiro caso temos:
E(θ ˆ 1 )=E(c 1 X − − )=c 1 E(X − − )=c 1 θ 2
Como queremos que E(θ ˆ 1 )=θ , fazemos:
c 1 θ 2 =θ⇒c 1 =2
No segundo, precisamos em primeiro lugar encontrar a esperança de X (n) :
F X (n) (y) = = = P(X ( n)≤y)=P(max(X 1 ,…,X n )) P(X 1 ≤y)…P(X n ≤y) x n θ n ⇒f X (n) (y)=nx n−1 θ n
Então:
E(X (n) )=∫ θ 0 xnx n−1 θ ndx=n θ n ∫ θ 0 x n dx=n n+1 θ=n n+1 θ
Como queremos E(θ ˆ 2 )=θ :
c 2 n n+1 θ=θ⇒c 2 =n+1 n
b) Encontre e compare os EQMs dos dois estimadores.
EQM(θ ˆ 1 ) = = Var(θ ˆ 1 )+B 2 (θ ˆ 1 )=Var(2X − − )+(E(θ ˆ 1 )–θ) 2 θ 2 3n +0=θ 2 3n
Como não temos de imediato como acima, vamos encontrar então Var(θ ˆ 2 ) . Em primeiro lugar, encontremos Var(X (n) ) , pois a variância que queremos depende dela:Var(X (n) )=E(X 2 (n) )–E 2 (X (n) )
Como já obtivemos E(X (n) ) acima, precisamos apenas encontrar E(X 2 (n) ) :
E(X 2 (n) )=∫ θ 0 x 2 nx n−1 θ n dx=n θ n ∫ θ 0 x n+1 dx=n n+2 θ 2
Assim:
Var(X (n) )=n n+2 θ 2 –(n n+1 θ) 2 =θ 2 (n n+2 –n 2 (n+1) 2 )
Calculando então Var(θ ˆ 2 ) :
Var(θ ˆ 2 ) = = = Var(n+1 n X (n) )=(n+1 n ) 2 Var(X (n) ) (n+1 n ) 2 θ 2 (n n+2 –n 2 (n+1) 2 ) θ 2 (n 2+2n+1 n 2 +2n –1)=EQM(θ 2 ˆ )
Na Figura abaixo temos o gráfico da constante multiplicando θ para os dois EQMs de acordo com o tamanho da amostra n . Fica claro que o erro quadrático médio do segundo estimador é sempre menor ou igual (com menor ou igual substituido por estritamente menor para qualquer n>1) que o erro quadrático médio do primeiro estimador. Logo o estimador θ ˆ 2 é um melhor estimadorpara θ que θ ˆ 1 .

EQMs em função de n
Estimadores Não Viesados 3
Matérias: Estatística, Estimadores, Inferência Estatística Nível de dificuldade: Médio Fonte: MAE0311-L1 Palavras-chave: EQM, erro quadrático médio | 0 comentário
Seja X 1 ,…,X n uma amostra aleatória de tamanho n da distribuição da varíavel aleatória X com f.d.p. dada por
f(x|θ)=e −(x−θ) ,x>θ,θ>0
a) Especifique o espaçoparamétrico e o suporte associado à distribuição de X .
Do enunciado, temos: Θ={θ,θ>0} e A(x)={x,x>θ} .
b) Verifique se θ ˆ 1 =X − − e θ ˆ 2 =X (1) são estimadores não viciados para θ .
Em primeiro lugar, verifiquemos o valor de E(X) .
E(X)=∫ ∞ −∞ xf(x|θ)dx=∫ ∞ θ xe −(x–θ) dx=e θ ∫ ∞ θ xe −x dx(eq:1)
Resolvendo essa integral por partes, fazemos u=x e dv=e −x dx , obtendo du=dx e v=−e −x .Pela regra do produto então:
(eq:1)=e θ ([−xe −x ] ∞ θ –∫ ∞ θ −e −x dx)=e θ e −θ (θ+1)=θ+1
De imediado segue que θ ˆ 1 é viciado para θ pois E(θ ˆ 1 )=E(X − − )=E(X)=θ+1 . Para θ ˆ 2 precisamos calcular sua esperança manualmente.
Em primeiro lugar, achemos a função de distribuição de X (1) :
F X (1) (x) = = = = P(X≤x)=P(min(X 1 ,…,X n )≤x) 1–P(min(X 1 ,…,X n )>x) 1–P(X 1 >x,…,X n >x) 1–P(X 1>x)…P(X n >x)
Dada a função de densidade de X é imediata a obtenção de uma expressão para P(X>a) :
P(X>a)=∫ ∞ a e −(x–θ) dx=e −a+θ ,a>θ>0
Voltando isso na penúltima equação:
F X (1) (x)=1–e −n(x−θ) ⇒f X (1) (x)=ne −n(x–θ) ,x>θ>0
Temos então:
E(θ ˆ 2 )=E(X (1) )=∫ ∞ θ xne −n(x−θ) dx=ne nθ ∫ ∞ θ xe −nx dx(eq:2)
Fazendo u=x e dv=e −nx dx , temos du=dx e v=−e −nx n . Pela regra do produto:(eq:2)=ne nθ ([−xe −nx n ] ∞ θ –∫ ∞ θ −e −nx n dx)=nθ+1 n =θ+1 n
Logo, θ ˆ 2 é um estimador assintoticamente não viciado para \(\theta).
c. Encontre e compare os EQMs dos dois estimadores. Faça um gráfico como função de θ .
Em primeiro lugar, precisamos calcular Var(X) . Para isso, vamos obter E(X 2 ) :
E(X 2 )=∫ ∞ θ x 2 e −(x−θ) dx=e θ ∫ ∞ θ x 2 e −x dx(eq:3)
Tomando u=x 2 e dv=e −x ,...
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