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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ciˆncias Exatas e da Terra
e
Departamento de Matem´tica
a
Programa de Educa¸˜o Tutorial
ca

Vari´veis Aleat´rias Discretas
a
o

por

Jos´ Carlos Oliveira da Silva
e
&
Joelson da Cruz Campos

Natal
2007

Sum´rio
a

1 Vari´veis Aleat´rias Discretas
a
o

1

2 Algumas Densidades Importantes

4

2.1

Adensidade de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Densidade Geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

5

2.3

Densidade Hipergeom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

7

3 Distribui¸˜o de Vari´veis Aleat´rias Discretas
ca
a
o

8

3.1

Vetores Aleat´rios Discretos . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 10
o

3.2

Vari´veis Aleat´rias Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
a
o

Referˆncias Bibliogr´ficas
e
a

15

Cap´
ıtulo 1
Vari´veis Aleat´rias Discretas
a
o
Sempre que realizamos um experimento aleat´rio nos preucupamos em observar caro
acter´
ısticos num´ricos ocorrentes nessa realiza¸˜o. Por exemplo: Quando lan¸amos uma
eca
c
moeda honesta, podemos est´ intere¸ados em observar se a face voltada para cima ´ cara
a
c
e
ou coroa. Dessa forma, se definirmos X como sendo “a ocorrˆncia de cara no lan¸amento”,
e
c
podemos intuitivamente, observar que a ocorrˆncia de X ´ aleat´ria, ou seja, n˜o ´ mae
e
o
ae
nipulada.
A esse caracter´
ıstico num´rico damos, intuitivamente, o nome de vari´vel aleat´ria
e
ao
discresta. Cuja defini¸˜o formal ´ a seguinte:
ca
e
Defini¸˜o 1: Uma vari´vel aleat´ria discreta, ´ uma fu¸˜o X : Ω → R, cuja imagem
ca
a
o
e
ca
´ um subconjunto enumer´vel do conjunto dos n´meros reais e tal que o conjunto {w ∈
e
a
u
Ω : X (w) = xi } ´ um evento para todo i.
e
Exemplo 1: Dois jogadores A e B est˜o participando da seguinte aposta: “um deles
a
lan¸a uma moeda,honesta, trˆs vezes para cima, se o resultado obtido em cada lan¸amento
c
e
c
for cara (c), o jogador A ganha um real. Se for coroa (k ), paga um real. Suponha que
estejamos torcendo pelo jogador A. Dessa forma s´ vai nos intere¸ar a quantidade final
o
c
do jogador A.

1

Cap´
ıtulo 1. Vari´veis Aleat´rias Discretas
a
o
Representando por X a quantidade de A no fim do jogo, vemos queX ´ uma vari´vel
e
a
aleat´ria discreta.
o
Para verificarmos basta observar que os poss´
ıveis resultados desse experimento s˜o:
a
{(c, c, c); (c, c, k ); (c, k, c); (k, c, c); (c, k, k ); (k, c, k ); (k, k, c); (k, k, k )}, dessa forma temos,
Ω = {(c, c, c); (c, c, k ); (c, k, c); (k, c, c); (c, k, k ); (k, c, k ); (k, k, c); (k, k, k )}. Notamos que
os poss´
ıveis valores de X s˜o (−3,−1, 1, 3) e que o conjunto {w ∈ Ω : X (w) = xi } ´
a
e
evento, uma vez que ocorrendo (c, c, c) temos X (c, c, c) = 3, (c, c, k ) temos X (c, c, k ) = 1,
(k, k, c) temos X (k, k, c) = −1 e assim por diante.
Dessa forma, podemos descrever esse experimento por meio de uma fun¸˜o X : Ω → R
ca
que a cada evento w ∈ Ω associa X (w) = xi .
J´ sabemos que uma vari´vel aleat´ria discreta ´ umcaracter´
a
a
o
e
ıstico num´rico que seme
pre aparece na realiza¸˜o de um experimento, mas ainda n˜o sabemos qual a probabilidade
ca
a
dela ocorrer em certo experimento.
Com o objetivo de sabermos a probabilidade da vari´vel aleat´ria discreta X assumir
a
o
um dado valor real num certo experimento, iremos definir, a seguir, a densidade de uma
vari´vel aleat´ria discreta X em um dadoespa¸o de probabilidade (Ω, A, P ), pois essa
a
o
c
defini¸˜o nos dar´ o que estamos procurando.
ca
a
Defini¸˜o 2: Chama-se fun¸˜o densidade de uma vari´vel aleat´ria discreta X a uma
ca
ca
a
o
fun¸˜o real definida por f (x) = P (X = x) = P (w ∈ Ω : X (w) = x) e que satisfaz as
ca
seguintes condi¸˜es:
co
(i) f (x) ≥ 0;
(ii) {x ∈ R : f (x) = 0} ´ um subconjunto enumer´vel de R, ou seja,...
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