estatistica

ˆ
PROPRIEDADES DA ESPERANCA E DA VARIANCIA
¸
Prof. Marcelo de Paula
1

Propriedades da esperan¸a matem´tica c a
Considere X uma vari´vel aleat´ria e c uma constante arbitr´ria. Ent˜o a o a a
P. 1 A esperan¸a da constante ´ a pr´pria constante. c e o E (c) = c
P. 2 A esperan¸a de uma v.a X adicionado ou subtra´ uma constante c, ´ dada por c ıdo e E (X ± c) = E (X) ± c.
P. 3 A esperan¸a de uma v.a X multiplicada por uma constante c, ´ dada por c e
E (Xc) = E (X) c.
P. 4 Sejam duas constantes arbitr´rias a e b. Ent˜o, pelas propriedades 1, 2 e 3, temos a a
E (a ± bX) = a ± bE (X) .
P. 5 Sejam X e Y duas v.as, ent˜o a esperan¸a da soma ou da diferen¸a ´ a soma ou diferen¸a das esperan¸as. a c c e c c
E (X ± Y ) = E (X) ± E (Y ) .

Observa¸˜o: Esta propriedade vale para mais de 2 vari´veis aleat´rias. ca a o P. 6 Considere X1 , X2 , ..., Xn vari´veis aleat´rias. Ent˜o a esperan¸a da soma ´ a soma das esperan¸as. a o a c e c n n

E

Xi

=

i=1

E (Xi ) . i=1 P. 7 Considere X1 , X2 , ..., Xn vari´veis aleat´rias independentes. Ent˜o a esperan¸a do produto ´ o produto das a o a c e esperan¸as. c n

n

E

Xi

=

i=1

2

E (Xi ) . i=1 Propriedades da variˆncia de uma vari´vel aleat´ria a a o P. 1 A variˆncia de uma constante ´ nula. a e
V AR (c) = 0.
P. 2 A variˆncia de uma v.a X adicionado ou subtra´ uma constante c, ´ a pr´pria variˆncia de X a ıdo e o a V AR (X ± c) = V AR (X) .

P. 3 A variˆncia de uma v.a X multiplicada por uma constante c, ´ a variˆncia de X multiplicada pela constante a e a c ao quadrado.
V AR (Xc) = V AR (X) c2 .
P. 4 Sejam duas constantes arbitr´rias a e b. Pelas propriedades 1, 2 e 3, temos a V AR (a ± bX) = b2 V AR (X) .
P. 5 Sejam X e Y duas v.as, ent˜o a variˆncia da soma ou da diferen¸a ´ dada por. a a c e
V AR (X ± Y ) = V AR (X) + V AR (Y ) ± 2COV (XY ) , onde COV denota a covariˆncia entre as vari´veis X e Y , e ´ dada