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Cap´ ıtulo 6

Autovalores e Autovetores
6.1 Introdu¸˜o ca

Neste cap´ ıtulo, apresentaremos alguns dos m´todos utilizados para a solu¸˜o do problema do e ca autovalor, i.e., o sistema de n equa¸˜es lineares co Ax = λx (6.1)

para o qual procuramos um vetor solu¸˜o x tal que xi = 0 para pelo menos algum i, ou seja, uma ca solu¸˜o n˜o-trivial. Para que tal seja poss´ ca a ıvel, ´ necess´rioque e a det(A − λI) = 0 (6.2)

a qual ´ uma equa¸˜o polinomial de grau n na vari´vel λ, chamada de equa¸˜o caracter´stica de e ca a ca ı A; o polinˆmio det(A − λI) ´ chamado de polinˆmio caracter´stico de A. o e o ı As n ra´ de (6.2) s˜o chamadas de autovalores, ra´zes latentes ou valores caracter´sticos de ızes a ı ı A. A cada raiz λ corresponde um vetor x ∈ ICn = 0 que satisfaz a equa¸˜o(6.1), o qual ´ chamado ca e de autovetor, vetor latente ou vetor caracter´stico de A. Note que, se x ´ um autovetor de A, ent˜o ı e a kx, onde k ∈ IR, tamb´m ´, pois e e Akx = kAx = λkx = kλx. Costumeiramente os autovetores s˜o normalizados, i.e. || x || = 1 em alguma norma escolhida (o a que pode ser feito pela rela¸˜o acima). ca Se todas as ra´ de (6.2) s˜o distintas entre si, ent˜o isso implica emque a matriz A apresenta ızes a a um conjunto completo de autovetores linearmente independentes (L.I.). No entanto, mesmo para casos em que os autovalores n˜o s˜o todos distintos, podemos encontrar um conjunto completo de a a autovetores L.I. Podemos tamb´m calcular os autovalores da matriz inversa de A, A−1 , a partir dos autovalores e de A. Se multiplicarmos a equa¸˜o (6.1) a esquerda por A−1 ,temos ca ` x = λA−1 x ou A−1 x = 1 x. λ

(6.3)

1 Essa ultima equa¸˜o nos diz que λ ´ autovalor de A−1 , onde λ ´ um autovalor de A, com o ´ ca e e autovetor x correspondente. Problemas envolvendo autovalores e autovetores surgem em in´meras aplica¸˜es, como podeu co mos ver nos exemplos que seguem, conforme apresentados em [6].

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Introdu¸˜o ao C´lculo Num´rico ca a e

Autovalores eAutovetores

Exemplo 6.1 O estudo das vibra¸˜es de sistemas dinˆmicos e de estruturas requer a solu¸˜o de co a ca problemas de autovalores e autovetores. Considere, apenas para fins de explana¸˜o, o problema ca de se determinar as vibra¸˜es de pequenas part´culas presas por um fio uniforme, sem peso, ao co ı → − qual ´ aplicada uma for¸a F nas extremidades (cf. a figura 6.1) e no qualdesconsidera-se a a¸˜o e c ca da gravidade. As part´culas encontram-se a distˆncias iguais entre si e as vibra¸˜es das mesmas ı a co s˜o consideradas pequenas e perpendiculares a posi¸˜o de descanso do fio. Escrevendo as equa¸˜es a ` ca co

Figura 6.1: O problema das vibra¸˜es. co diferenciais para as for¸as atuantes em cada part´cula, temos: c ı m1 d2 x1 dt2 d2 x2 m2 2 dt d2 x3 m3 2 dt d2 x4 m4 2 dt = = = =x2 − x1 x1 +F h h x3 − x2 x2 − x1 +F −F h h x3 − x4 x3 − x2 −F −F h h x4 x3 − x4 −F +F h h −F

Introduzindo a nota¸˜o ca x di = (x1 , x2 , x3 , x4 )T mi h , i = 1, 2, 3, 4 = F

podemos escrever o sistema de equa¸˜es diferenciais acima na forma matricial co D onde D ´ a matriz diagonal e   D=  e T ´ a matriz tridiagonal e  d2 x = Tx dt2  d2 d3 d4  −2 1 0 0  1 −2 1 0  . T =  0 1 −21  0 0 1 −2    (6.4)

d1

A.L. de Bortoli, C. Cardoso, M.P.G. Fachin, R.D. da Cunha

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Introdu¸˜o ao C´lculo Num´rico ca a e

Autovalores e Autovetores

Quando as part´culas vibram em fase ou em dire¸˜es opostas, i.e., em modo normal, ent˜o a ı co a condi¸ao c˜ d2 x = −w2 x, w ∈ IR (6.5) dt2 ´ satisfeita. Substituindo a equa¸ao (6.5) em (6.4), obtemos o problema de autovalor ec˜
2 Dwi xi = −T xi ,

i = 1, 2, 3, 4

(6.6)

para as freq¨ˆncias de vibra¸˜o w1 , w2 , w3 e w4 e os modos normais correspondentes, i.e., os ue ca autovetores x1 , x2 , x3 e x4 . Aparentemente, se isolarmos x no lado direito da equa¸˜o (6.6), obter´amos o que se chama ca ı de problema generalizado do autovalor, cuja forma geral ´ e (A − λB)x = 0 onde A e B s˜o matrizes de ordem n. Por´m,...
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