ESTADO SOLIDO

O DEGRAU DE POTENCIAL

Uma partícula de massa m que se movimenta num potencial V(x), em que V(x) = 0 para x < 0 e V(x) = V0 > 0 para x > 0. Este é o chamado degrau de potencial ou potencial degrau. V

V

0
E

m x Note que, se V0 fosse igual a zero, voltaríamos ao caso da partícula livre. Para o degrau de potencial, da mesma forma que no caso da partícula livre, não existem soluções da equação de Schrödinger com energia E < 0, já que isso obrigaria a função de onda ψ(x) a divergir para x → +∞ e/ou x → –∞. Assim, podemos dividir em dois casos: 0 < E < V0 , ou seja, a energia da partícula é menor do que a altura do degrau de potencial, e E > V0 , em que a energia é maior do que o degrau.
Note que o potencial é contínuo em todo o espaço, sofrendo apenas uma descontinuidade em x = 0. Este é o primeiro de uma série de exemplos que iremos estudar de potenciais com essas características, ou seja, “contínuos por partes”. A estratégia para solucionar esse tipo de problema é sempre a mesma: resolvemos a equação de Schrödinger separadamente em cada região onde o potencial é contínuo. Depois, tentamos ajustar as diferentes soluções, para que elas sejam consistentes nos pontos de descontinuidade do potencial. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER NO CASO E < V0
A estratégia é tratar separadamente as regiões x < 0 e x > 0. Para x < 0, onde o potencial é nulo, a equação de Schrödinger pode ser colocada da mesma forma do que para a partícula livre, vista na aula anterior. Portanto, na região esquerda, a solução tem a forma:

ψ(x) = Ae ikx + Be -ikx , x < 0 em que k =

2mE / h .

Para x > 0, a equação de Schrödinger adquire uma forma um pouco diferente:

que pode ser reescrita como

d 2 ψ(x)
− K 2 ψ(x) = 0 , dx 2

em que K = 2m(V0 – E) / h .
Essa equação diferencial é também nossa conhecida dos cursos de cálculo. Sabemos que a sua solução tem a seguinte forma geral:

Porém, lembramos que, para que a função de onda seja aceitável, ela não pode ir para infinito quando x → +∞. Como K