Espiral quadrada

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO TRABALHO PRÁTICO DE MATEMÁTICA DISCRETA PROF: ANTÔNIO ALFREDO FERREIRA LOUREIRO ALUNO: VITOR GUILHERME RIBEIRO LOPES Para resolver o problema da Espiral Quadrada, analisei profundamente os intervalos da tabela de coordenadas para cada elemento e pude notar uma repetição lógica entre estas coordenadas. Esta lógica édividida entre as abcissas e as ordenadas: Abcissas: a coordenada relativa à abcissa de cada elemento da espiral está relacionada à raiz quadrada do quadrado perfeito posterior ao elemento que desejamos encontrar. Por exemplo: a abcissa do elemento 23 está relacionada à raiz quadrada do quadrado perfeito posterior ao elemento 23, ou seja, está relacionada à raiz quadrada do elemento 25 (que é 5). Osvalores das abcissas se repetem entre os elementos que estão dentro um limite inferior, que é dado por um quadrado perfeito posterior subtraído de sua raiz quadrada, até um limite superior, que é o próprio quadrado perfeito posterior (ver Figura 01). Exemplo: no intervalo de20 a 25, as abcissas são iguais pois o limite inferior é 25 - 25 = 20 e o limite superior é o próprio quadrado perfeito 25(analogamente, temos uma repetição nos intervalos 0 a 1, 2 a 4, 6 a 9, 12 a 16, 30 a 36...).

Figura 01 O valor das abcissas dos elementos que estão dentro desse limite é definido por:

(1)

x 1

 ( xdiv 2)

onde x representa o valor do quadrado perfeito posterior. Exemplos: - no intervalo de 0 a 1, temos (1) - no intervalo de 2 a 4, temos (1) - no intervalo de 6 a 9, temos (1)

11 41 9 1

 ( 1div 2)  1 0  0;  ( 4div 2)  (1) 1  1;  ( 9div 2)  11  1;
161 251

- no intervalo de 12 a 16, temos (1) - no intervalo de 20 a 25, temos (1)

 ( 16div 2)  (1)  2  2;  ( 25div 2)  1 2  2;

As abcissas dos elementos que estão fora desse intervalo, ou seja, dos elementos que estão entre o quadrado perfeito anterior e o limite inferior (ver Figura 01.Exemplos: 5, 10 a 11, 17 a 19, 26 a 29...), são dadas por:

[(1)

x 1

 ( xdiv 2)]  (1)

x

 [( x  x )  n]

onde x representa o valor do quadrado perfeito posterior e n representa o elemento que está fora do intervalo. Exemplos:

- abcissa de 17, temos [(1) - abcissa de 18, temos [(1) - abcissa de 19, temos [(1) - abcissa de 26, temos [(1)

251 251 251 361

 (25div 2)]  (1)  ( 25div 2)]  (1)  ( 25div 2)]  (1)  ( 36div 2)]  (1)

25 25 25 36

 [(25  25 )  17]  1 2  (1 3)  1;  [(25  25 )  18]  1  2  (1  2)  0 ;  [(25  25 )  19]  1 2  (11)  1 ;  [(36  36 )  26]  (1)  3  (1  4)  1;

Ordenadas: a coordenada relativa à ordenada de cada elemento da espiral está relacionada à raiz quadrada do quadrado perfeitoanterior ao elemento que desejamos encontrar. Por exemplo: a ordenada do elemento 19 está relacionada à raiz quadrada do quadrado perfeito anterior ao elemento 19, ou seja, está relacionada à raiz quadrada do elemento 16 (que é 4). Os valores das ordenadas se repetem entre os elementos que estão dentro de um limite inferior, que é o quadrado perfeito anterior até um limite superior, que é dado peloquadrado perfeito anterior somado de sua raiz quadrada (ver Figura 02). Exemplo: no intervalo de 16 a 20, as ordenadas são iguais pois limite inferior é 16 e o limite superior é 16 + 16 = 20 (analogamente, temos uma repetição nos intervalos 1 a 2, 4 a 6, 9 a 12, 25 a 30, 36 a 42...).

Figura 02 O valor das ordenadas dos elementos que estão dentro desse limite é definido por:

(1)

y 1 [( y  1)div 2]

onde y representa o valor do quadrado perfeito anterior. Exemplos: - no intervalo de 1 a 2, temos (1) 11  [( 1  1)div 2]  11  1; - no intervalo de 4 a 6, temos (1)
4 1

 [( 4  1)div 2]  (1) 1  1;  [( 9  1)div 2]  1  2  2;  [( 16  1)div 2]  (1)  2  2;  [( 25  1)div 2}  1 3  3;

- no intervalo de 9 a 12, temos (1)

9 1

- no...
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