UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL – UEMS

ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS

Produto interno em espaços vetoriais
Estamos interessados em formalizar os conceitos de comprimento de um vetore
ângulos entre dois vetores. Esses conceitos permitirão uma melhor compreensão do que
seja uma base ortogonal e uma base ortonormal em um EV e, principalmente, nos darão
a noção de “medida” quenos leva a precisar conceitos como o de área, volume,
distância, etc.
Consideremos inicialmente o plano R2, munido de um referencial cartesiano
ortogonal (eixos perpendiculare0 e um ponto P(x,y).Vamos calcular a distância do
ponto P à origem O (0,0)

Observando a figura e utilizando o teorema de Pitágoras, temos que d =
. Podemos também, interpretar este resultado dizendo que o comprimento(que passaremos a chamar de norma) do vetor (x,y) é:

Por outro lado, se tivéssemos dois vetores u = (x1,y1) e v =(x2, y2), podemos
definir um “produto” de u por v assim:
= x1x2 + y1y2,
produtoeste chamado de produto escalar interno usual e que tem uma relação
importante com a norma de um vetor v = (x,y).

Álgebra Linear -

Produto Interno

-

Profª. Adriana Biscaro

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Se, ao invés de trabalharmos no R2, estivéssemos trabalhando no R3 (munidos de
um referencial cartesiano ortogonal), teríamos encontrado umaexpressão similar para o
produto escalar:

E a mesma relação com a norma de um vetor v = (x,y,z)

Voltando ao caso do plano, se tivéssemos trabalhando com um referencial não
ortogonal (eixos nãoperpendiculares), e quiséssemos calcular a distância da origem até
um ponto P (cujas coordenadas em relação ao referencial fossem (x,y)), teríamos,
usando o Teorema de Pitágoras:

Obseve que, seusássemos o produto escalar
neste caso não valeria a relação
seguinte regra para o produto:

=

=

, mas ela passaria a valer se usássemos a

Portanto, novamente a noção de distância poderia... [continua]

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(2014, 02). ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Produto Interno. TrabalhosFeitos.com. Retirado 02, 2014, de http://www.trabalhosfeitos.com/ensaios/Espa%C3%A7os-Vetoriais-Euclidianos-Produto-Interno/47741271.html

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"ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Produto Interno." TrabalhosFeitos.com. 02, 2014. Acessado 02, 2014. http://www.trabalhosfeitos.com/ensaios/Espa%C3%A7os-Vetoriais-Euclidianos-Produto-Interno/47741271.html.