ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Produto Interno

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 12 (2753 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 21 de fevereiro de 2014
Ler documento completo
Amostra do texto
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL – UEMS

ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS

Produto interno em espaços vetoriais
Estamos interessados em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e
ângulos entre dois vetores. Esses conceitos permitirão uma melhor compreensão do que
seja uma base ortogonal e uma base ortonormal em um EV e, principalmente, nos darão
a noção de “medida” quenos leva a precisar conceitos como o de área, volume,
distância, etc.
Consideremos inicialmente o plano R2, munido de um referencial cartesiano
ortogonal (eixos perpendiculare0 e um ponto P(x,y). Vamos calcular a distância do
ponto P à origem O (0,0)

Observando a figura e utilizando o teorema de Pitágoras, temos que d =
. Podemos também, interpretar este resultado dizendo que o comprimento(que passaremos a chamar de norma) do vetor (x,y) é:

Por outro lado, se tivéssemos dois vetores u = (x1,y1) e v =(x2, y2), podemos
definir um “produto” de u por v assim:
= x1x2 + y1y2,
produto este chamado de produto escalar interno usual e que tem uma relação
importante com a norma de um vetor v = (x,y).

Álgebra Linear -

Produto Interno

-

Profª. Adriana Biscaro

Página 1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL – UEMS

Se, ao invés de trabalharmos no R2, estivéssemos trabalhando no R3 (munidos de
um referencial cartesiano ortogonal), teríamos encontrado uma expressão similar para o
produto escalar:

E a mesma relação com a norma de um vetor v = (x,y,z)

Voltando ao caso do plano, se tivéssemos trabalhando com um referencial não
ortogonal (eixos nãoperpendiculares), e quiséssemos calcular a distância da origem até
um ponto P (cujas coordenadas em relação ao referencial fossem (x,y)), teríamos,
usando o Teorema de Pitágoras:

Obseve que, se usássemos o produto escalar
neste caso não valeria a relação
seguinte regra para o produto:

=

=

, mas ela passaria a valer se usássemos a

Portanto, novamente a noção de distância poderiaser dada a partir de um
produto interno de vetores. Concluímos destes exemplos, que o processo usado para se
determinar “medidas” num espaço pode variar e, em cada caso, precisamos ser bem
claros sobre qual produto interno estamos trabalhando.

Álgebra Linear -

Produto Interno

-

Profª. Adriana Biscaro

Página 2

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL – UEMS

Definição:Seja V um EV real. Um produto sobre V é uma função f: VxV  R
que a cada par de vetores v1 e v2, associa um número real, denotado por , e que
satisfaz as seguintes propriedades:
P1 u.v = v.u
P2 u. (v + w) = u.v + u. w
P3 (αu).v = α(u.v) para todo real α
P4 u.u ≥ 0 e u.u = 0 se, e somente se, u = 0.
Exemplo:
1) No espaço vetorial V = R2, a função que associa a cada par de vetores
u = (x1, y1)e v= (x2, y2) o número real u.v = 3x1x2 + 4y1y2 é um produto interno.

2) O número u.v = 2x1x2 + y12y22 sendo u = (x1, y1) e v = (x2, y2) não define no R2
um produto interno.

Álgebra Linear -

Produto Interno

-

Profª. Adriana Biscaro

Página 3

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL – UEMS

Exercícios:
1) Em relação ao produto interno usual do R2, calcular u.v, sendodados:
a) u = (-3,4) e v = (5,-2)
b) u = (6,-1) e v = (1/2, -4)
c) u = (2,30 e v =(0,0)
2) Para os mesmos vetores do exercício anterior, calcular u.v em relação ao
produto interno: u.v = 3x1x2 + 4y1y2.
3) Consideremos o R3 munido do produto interno usual. Sendo v1 = (1,2,-3), v2
=(3,-1,-1) e v3 = (2,-2,0) do R3, determinar o vetor u tal que u.v1 = 4, u.v2 = 6
e u.v3 = 2.
4) Seja V = {f:[0,1]  R; f é contínua} o EV munido do produto interno:

Determinar h1. h2 e h1.h1, tais que h1, h2 ∈ V e h1(t) = t e h2(t) = t2.

Espaço Vetorial Euclidiano
Um EV real, de dimensão finita, no qual está definido um produto interno é um
EV euclidiano.

Módulo de um Vetor
Dado um vetor v de um EV euclidiano V, define-se módulo, normal ou
comprimento de v o número real não-negativo,...
tracking img