Esferas

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Matematica Essencial: Geometria: Esferas

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Matemática Essencial:  Alegria  Financeira  Fundamental  Médio  Geometria  Trigonometria   Superior  Cálculos

Geometria Espacial: Esferas
■ ■ ■ ■ O conceito de esfera Aplicação: volumes de líquidos A superfície esférica Fórmulas: objetos esféricos ■ Volume de calota inferior e integrais duplas ■ Volume de calota superior ■ Cálculos OnLine

O conceito de esfera

A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela qual muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como sefosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana. Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento mas o volume tem medida nula. Há outras esferas, cada umadefinida no seu respectivo espaço ndimensional. Um caso interessante é a esfera na reta unidimensional: So = {x em R: x²=1} = {+1,-1} Por exemplo, a esfera S1 = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 } é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na origem do plano cartesiano.
Aplicação: volumes de líquidos

Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em tanques esféricos,cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da altura do líquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um orifício na parte superior (polo Norte) por onde é introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara, observa-se o nível de líquidohttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/esfera/esfera.htm

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que fica impregnado na vara e esta medida corresponde à altura de líquido contido na região esférica. Este não é um problema trivial, como observaremos pelos cálculos realizados na sequência.

A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulaspara cálculos de áreas na esfera e volumes em um sólido esférico.
A superfície esférica

A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados a uma mesma distância denominada raio de um ponto fixo chamado centro. Uma notação para a esfera com raio unitário centrada na origem de R³ é: S² = { (x,y,z) em R³: x² + y² + z² = 1 } Uma esfera de raio unitário centrada naorigem de R4 é dada por: S³ = { (w,x,y,z) em R4: w² + x² + y² + z² = 1 } Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera?

Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fina que envolve um sólido esférico. Em uma melancia esférica, a esfera poderia ser considerada a película verde (casca) que envolve a fruta.

É comum encontrarmos na literatura básica a definição de esferacomo sendo o sólido esférico, no entanto não se deve confundir estes conceitos. Se houver interesse em aprofundar os estudos desses

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detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamento de taissituações.

O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de vista prático, o disco esférico pode ser pensado como a reunião da película fina que envolve o sólido esférico com a região sólida dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o disco esférico pode ser visto como toda a fruta.

Quando indicamos o raio da esfera...
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