Erros matematicos

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eroERROS
Deseja-se obter respostas confiáveis para os problemas porém nem sempre acontece. Isso é justificado pela ocorrência de erros provenientes de várias fontes, alguns deles provenientes da fase de modelagem e outros da fase de obtenção da solução numericamente. Nesta última fase podem ocorrer erros na precisão dos dados de entrada, na forma de armazenamento dos dados, nas operaçõesnuméricas efetuadas e erros de truncamento (troca de uma série infinita por uma finita). O Cálculo Numérico tratará somente dos erros que decorrem das operações numéricas efetuadas e do truncamento. Quando se resolvem problemas com métodos numéricos não é incomum encontrar resultados finais distantes do que se esperava obter, mesmo que todas as fases de resolução tenham sido realizadas corretamente. Taisresultados dependem, da precisão dos dados de entrada, da forma como estes dados são representados no computador e das operações numéricas efetuadas. Imprecisões nos dados iniciais decorrem dos equipamentos utilizados em sua coleta e sua magnitude não pode ser medida numa disciplina de Cálculo Numérico, portanto nos fixaremos na análise das ultimas fontes de erros.

Representação de Números
Arepresentação de um número depende da base numérica escolhida ou disponível na máquina em uso e do número máximo de dígitos usados na sua representação. O número π , por exemplo, não pode ser representado por um número finito de dígitos decimais e assim, dependendo do número de dígitos utilizados, podem ser obtidas respostas diferentes para um mesmo problema (calcule por exemplo o comprimento dacircunferência de raio 100m, utilizando π = 3.14 , π = 3.1416 e π = 3.141592654 . Além disto, um número pode ter representação finita numa base e não-finita em outras bases. A base 10 é a mais utilizada atualmente e um computador opera normalmente no sistema binário. Observe o que em geral acontece quando você utiliza o computador. Ao entrar com os dados no sistema decimal todos são convertidos parao sistema binário para que as operações sejam efetuadas neste sistema. Finalmente os resultados serão convertidos para o sistema decimal e transmitidos a você. Todo esse processo de conversão é uma fonte de erros que afeta os resultados finais. Uma breve introdução de como é feita a mudança da representação de um número de uma determinada base numérica para outra: 1) Conversão de números inteirosdo sistema binário para o decimal: Um número na base

β

, ( a j a j −1 ...a 2 a1 a0 ) β , 0 ≤ a k ≤ β − 1,
j j −1

k = 1,..., j ,

pode ser escrito na forma polinomial: a j β + a j −1 β

+ ... + a 2 β 2 + a1 β + a0 β 0

Com esta representação um número é facilmente convertido do sistema binário para o decimal. Exemplo:

(101101) 2 = 1x 25 + 0x 2 4 + 1x 23 + 1x 2 2 + 0x 21 + 1x 20 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45
Processo Prático: Considere o número ( a j a j −1 ...a 2 a1 a0 ) 2 . sucessivamente, o algarismo
2

Colocando,

a j 2 + a j −1 2
j

j −1

em evidência na representação + ... + a 2 2 + a1 2 + a0 2 é possível se chegar ao processo
0

2

prático a seguir para determinar a representação, 10:

b0 , deste número na base

bj = a j b j −1 = a j −1 + 2b j b j − 2= a j − 2 + 2b j −1 . . . b0 = a0 + 2b1
Exercício: Utilize o processo prático para obter a representação de (101101) 2 na base decimal . 2) Conversão de números inteiros do sistema decimal para o binário: Se N é um número inteiro na base 10, sua representação binária (a j a j −1 ...a2 a1a0 ) 2 pode ser obtida com o algoritmo que segue: Passo 0

k =0

Nk = N
Passo 1 Obtenha q k e rk taisque:

N k = 2 xq k + rk Faça a k = rk

Caso contrário, faça N k +1 = q k Faça k = k + 1 e volte para o passo 1.

Passo 2: Se q k = 0 , pare.

Exercício: Encontrar a representação do número 17, na base binária. 3) Conversão de números fracionários do sistema decimal para o binário: Se r é um número fracionário entre 0 e 1 na base 10, os dígitos binários de sua representação binária (0.d1d...
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