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Revista Brasileira de Ensino de F´sica, v. 26, n. 3, p. 283 - 286, (2004) ı www.sbfisica.org.br Notas e Discuss˜ es o

Forcas de v´nculo no caso holˆ nomo ¸ ı o
(Forces of constraint in the holonomic case)

Nivaldo A. Lemos1
Departamento de F´sica Universidade Federal Fluminense, Niteroi, RJ, Brasil ı ´ Recebido em 20/02/04; Aceito em 25/06/04 ´ E poss´vel, por meios simples e diretos,encontrar as forcas de v´nculo para sistemas holˆ nomos empregando ı ¸ ı o as equacoes de Lagrange mas sem o uso da t´ cnica dos multiplicadores de Lagrange. O m´ todo e descrito em ¸˜ e e ´ sua generalidade e sua efic´ cia e demonstrada com a ajuda de alguns exemplos t´picos. a ´ ı a ¸ ı Palavras-chave: dinˆ mica lagrangiana, forcas de v´nculo. It is possible, by simple and direct means, to find theforces of constraint for holonomic systems employing Lagrange’s equations but without the use of the Lagrange multiplier technique. The method is described in its generality, and its effectiveness is demonstrated with the help of a few typical examples. Keywords: Lagrangian dynamics, forces of constraint.

1. Introducao ¸˜
Os textos cl´ ssicos de mecˆ nica anal´tica mostram a a ı como o m´ tododos multiplicadores de Lagrange incore pora uma extensa classe de v´nculos n˜ o-holˆ nomos ı a o ao escopo do formalismo lagrangiano, ressaltam que as forcas de v´nculo emergem automaticamente como ¸ ı um valioso subproduto da t´ cnica e costumam notar, e em seguida, que o m´ todo tamb´ m funciona quando e e ` os v´nculos s˜ o holˆ nomos [1]. As vezes, o m´ todo ı a o e e introduzido primordialmentepara lidar com v´nculos ´ ı holˆ nomos, e somente mais tarde assinala-se que ele o tamb´ m abrange certos v´nculos n˜ o-holˆ nomos [2]. e ı a o Qualquer que seja o caminho seguido, permanece o fato de que, usualmente, os exemplos escolhidos para ilustrar o m´ todo s˜ o sistemas sujeitos a v´nculos e a ı holˆ nomos [1,2]. Isto deixa o estudante com a falsa o impress˜ o de que, na dinˆ micalagrangiana, um apelo a a a multiplicadores de Lagrange e inescap´ vel caso se ´ a esteja interessado em obter as forcas de v´nculo. O ¸ ı prop´ sito desta nota e chamar a atencao para o fato de o ´ ¸˜ que, no caso holˆ nomo, as forcas de v´nculo podem ser o ¸ ı obtidas de forma simples e direta sem recorrer a multiplicadores de esp´ cie alguma. e
1

A deducao das equacoes de Lagrange para sis¸˜ ¸˜temas holˆ nomos contendo N part´culas comeca deo ı ¸ compondo a forca sobre a i-´ sima part´cula como ¸ e ı Fi = F i
(a) (a)

+ fi ,

(1)

onde Fi e a forca aplicada e fi e a forca de v´nculo. ´ ¸ ´ ¸ ı De modo geral, as forcas aplicadas e que devem ser ¸ ´ consideradas as verdadeiras causas do movimento, as forcas de v´nculo servindo meramente para assegurar a ¸ ı preservac ao dasrestricoes geom´ tricas ou cinem´ ticas ¸˜ ¸˜ e a no decurso do tempo. A hip´ tese − verdadeira na o quase totalidade das situacoes de interesse f´sico − de ¸˜ ı que o trabalho virtual total das forcas de v´nculo e zero ¸ ı ´ conduz ao princ´pio de d’Alembert ı
i

˙ (pi − Fi ) · δri = 0 ,

(a)

(2)

no qual as forcas de v´nculo n˜ o mais aparecem (os δr i ¸ ı a s˜ o deslocamentos virtuais). a ı ao Quando os v´nculos s˜ o holˆ nomos, existem coordenadas generalizadas q1 , . . . , qn tais que ri = ri (q1 , . . . , qn , t) , i = 1, . . . , N , (3)

e as equacoes de v´nculo s˜ o identicamente satisfeitas. ¸˜ ı a ¸ a ı Se as forcas aplicadas s˜ o dedut´veis de um potencial

Enviar correspondˆ ncia para Nivaldo A. Lemos. E-mail: nivaldo@if.uff.br. e

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284 escalar V (r1 , . . . , rN , t), isto e, ´ Fi
(a)

Lemos

coordenada generalizada. A lagrangiana torna-se , (4)

=−

iV

=−

∂V ˆ ∂V ˆ ∂V ˆ i+ j+ k ∂xi ∂yi ∂zi

argumentos bem conhecidos [1] levam do princ´pio de ı d’Alembert as equacoes de Lagrange ` ¸˜ ∂L d ∂L − =0 , dt ∂ qk ˙ ∂qk k = 1, . . . , n . (5)

A lagrangiana e dada por L = T −...
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