Equações diferencias

Universidade Federal de Pelotas - UFPEL Equações Diferenciais Ordinárias Prof. Valdecir Bottega Revisão Integrais
Integral Indefinida
Antiderivada Exemplo: Qual é a função cuja derivada é a função F x  2x ? A função F é chamada uma antiderivada de F . Definição: f x  x 2 , pois d x 2  2x dx

Uma antiderivada da função f é uma função F tal que F x fx em todo ponto onde f x é definida. Observação: Sabemos que F x  x 3 é uma antiderivada de F x  3x 2 , assim como: G x  x 3  1 e H x  x 3 5. Na verdade, qualquer função do tipo J x  x 3  C é antiderivada de F x . Teorema: Se F x  f x em todo ponto do intervalo aberto I, então toda antiderivada G , de f em I, tem a forma G x  F x C onde C é uma constante. Assim, uma única função tem muitas antiderivadas. O conjunto de todas as antiderivadas da função F x é chamada integral indefinida (ou antidiferencial) de f com relação a x e denotada por Þ f x dx.

Þ f x dx  F x  C
A operação de antidiferenciação, assim como a diferenciação, é linear:

Þ cf x dx  c Þ f x dx (onde c é uma constante) e Þfx

g x dx  Þ f x dx

Þ g x dx

A integração e a diferenciação são operações inversas uma da outra. Este fato nos permite obter fórmulas de integração diretamente das fórmulas de diferenciação. 1

FÓRMULAS:

Þ x n dx 

1 n1

x n1  C ( n

1) Þ sec x tan xdx  sec x  C

Þ dx  x  C Þ cos xdx  sin x  C Þ sin xdx  cos x  C Þ sec 2 xdx  tan x  C Þ csc 2 xdx  cot x  C

Þ csc x cot xdx  csc x  C sin 2 x  cos 2 x  1 1  tan 2 x  sec 2 x 1  cot 2 x  csc 2 x

Exercícios: 1) Faça os exercícios do Leithold, pág. 294, 3 a edição, do n o 1 até o n o 21 (ímpares) e do n o 29 até o n o 35. Integração por Substituição: Trabalharemos algumas técnicas para integrar funções compostas. Essas técnicas envolvem uma substituição. O uso da substituição na integração pode ser comparado ao uso da Regra da Cadeia na diferenciação. Iniciaremos recordando a Regra da Cadeia da diferenciação.