equações diferenciais machado

Equações Diferenciais para os cursos de Engenharia

Prof.: Eurípedes MACHADO Rodrigues

REVISÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS
REGRAS DE DERIVAÇÃO:
(derivadas de algumas funções elementares)
Função
Derivada y=k y’ = 0
K = constante real; y=x y’ = 1 u e v são funções de x; y=k.x y’ = k n é um número natural. n n–1 y=x y’ = n . x n y=k.x y’ = k . n . x n − 1 y=k.u y’ = k . u’ n y=u y’ = n . u n – 1 . u’ y=u±v y=u.v u y= v y = eu y = ln u y = au y = log u a y = sen u y = cos u y = tg u y = cotg u

y’ = u’ ± v’ y’ = u’.v + v’. u u'. v − v' . u y’ = v2 y’ = eu . u’ u' y’ = u y’ = au . ln a . u’ u' u' y’ =
. log e ou y’ = a u u . ln a y’ = u’ . cos u

Obtidas a partir da
Regra da Cadeia

y’ = − u’ . sen u y’ = u’ . sec2 u y’ = − u’ . cossec2 u

REGRA DA CADEIA (Derivada da função composta) dy du
Seja y = g(u), u = f(x) e se as derivadas e existem, então a du dx função composta y = g[f(x)] tem derivada que é dada por: dy dy du
=
. dx du dx

ou

y’(x) = g’(u) . f ' (x)

INTEGRAL − Definições:
I. Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo dado, se para todo valor de x pertencente ao intervalo dado, tem-se F’(x) = f(x);
II. Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C, onde C é uma constante é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por:
∫ f ( x ) dx = F(x) + C (notação de Leibniz)
III. Da definição de integral indefinida, decorre que:

∫ f ( x ) dx = F(x) + C

F’(x) = f(x)

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f(x) é a função integrando;
F(x) + C é a integral indefinida;

F(x) é uma integral;
C é uma constante de integração

Obs.: O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é chamado
Integração.

PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA
I.
II.
III.

∫ k .f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ,
∫ [f ( x ) ± g(x)] .dx = ∫ f ( x ) dx

[

k =