Equa»c~oes Diferenciais de 1a. Ordem

Equa¸co˜es Diferenciais de 1a. Ordem
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matem´atica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi 19 de novembro de 2002

Sum´ ario 1 Introdu¸c˜ ao ` as Equa¸co
˜es Diferenciais

3

1.1

Classifica¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Solu¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Equa¸co˜es Ordin´arias de

1a.

Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Equa¸co
˜es Lineares de 1a. Ordem

7
9

2.1

Equa¸co˜es em que f depende apenas de t . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2

Equa¸co˜es Lineares - Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Equa¸co
˜es Separ´ aveis 15

4 Equa¸co
˜es Exatas

20

5 Substitui¸co
˜es em Equa¸co
˜es de 1a. Ordem

24

5.1

Equa¸co˜es Homogˆeneas de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Aplica¸co
˜es
6.1

26

Crescimento Populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.1.1

Crescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1

´
SUMARIO

2
6.1.2

Crescimento Log´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.2

Data¸ca˜o por Carbono 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.3

Trajet´orias Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Equa¸co˜es Diferenciais Lineares de 1a. Ordem

19 de novembro de 2002

3

1

Introdu¸c˜ ao ` as Equa¸co
˜es Diferenciais

Uma equa¸ca˜o diferencial ´e uma equa¸ca˜o em que as inc´ognitas s˜ao fun¸co˜es e a equa¸ca˜o envolve derivadas destas fun¸co˜es.

Exemplo 1. O movimento de um pˆendulo simples de massa m e comprimento l ´e descrito pela equa¸ca˜o diferencial d2 θ g
+ sen, θ = 0 dt2 l

Exemplo 2. Um sistema massa-mola composto de uma massa m presa a uma mola