Equação da reta, equação do plano

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CAPÍTULO I – EQUAÇÕES DA RETA
1.1 Equação vetorial
Um dos axiomas da geometria euclidiana diz que dois pontos distintos
determinam uma reta. Seja r a reta determinada pelos pontos P1 e P2.
Um ponto P pertence à reta r se, e somente se, os vetores
®
P1P e
®
P1P2
são colineares. Como P1 e P2
são distintos, o vetor
®
P1P2
é não nulo,
então existe um escalar l tal que
® ®P1P = l P1P2
. Assim, P pertence a r se,
e somente se, P = P1 + lP1P2
; lÎIR
®
. Podemos então concluir que todo
ponto da reta r satisfaz à equação:
X P1 P1P2
; IR ,
que é chamada de equação vetorial da reta r.
Observemos que o fundamental na determinação da equação vetorial de
uma reta, é conhecermos um ponto desta reta e um vetor ( não nulo ) na
sua direção. Um vetor na direçãoda reta r é chamado vetor direção da
reta r, e indicado por
r
v
r
.
r : X = Po
+ hv
r
; h Î IR
r
Assim, cada escalar h determina um único
ponto P pertencente a r e, reciprocamente,
para cada ponto de r, existe um único valor
real h tal que P P h v .
o r
r
= +
r
P2
P1
r
Po
r
v
r2
1.2 Equações paramétricas e simétricas
Fixado um sistema de coordenadas, sejam P (x ,y , z ) e v (a, b,c)
o o o o r
=
r
.
A equação vetorial da reta r, determinada por
o r P e v
r
é:
r :(x, y, z) = (x
o
, y
o
, z
o
) + h (a,b, c); h Î IR ,
que equivale ao sistema ;h IR
z z h c
y y h b
x x h a
r :
o
o
o
Î
ï
î
ï
í
ì
= +
= +
= +
Å
As equações acima são chamadas de equações paramétricas da reta r.
Se abc ¹ 0, eliminando oparâmetro h do sistema Å, obtemos
c
z z
b
y y
a
x x
r :
o o o
Ç
Estas equações são denominadas equações simétricas da reta r.
As equações em Ç, poderiam ser obtidas observando o paralelismo que
deve existir entre os vetores:
P P (x x ,y y ,z z ) e v (a,b,c), abc 0.
o = - o - o - o r = ¹
® r
Exemplos
1. Determine uma equação da reta r que:
a) passa pelos pontos P (3, 1,1) eP (2,1,2)
1 2
- ;
b) passa pelo ponto P(4,1,0) e contém representantes do vetor
u = (2,6,-2)
r
.
Solução:
a) Como P1 e P2 são distintos, determinam uma reta de equação vetorial
X = P1 + hP1P2
; hÎIR
®
, isto é, r :(x,y, z) = (3,-1,1) + h (-1,2,1);hÎR .3
b)
1
z
3
y 1
r : x 4
-
=
-
- = ( equações simétricas da reta).
2. Verifique se o ponto P(-1,0,2) pertence às retas:a) r :(x, y,z) = (-7,-3,-7) + h (2,1,3); hÎIR
b) ; h IR
z 2 h
y 1 h
x 3 h
s: Î
ï
î
ï
í
ì
=
= - +
= - +
c)
2
z 4
3
y
2
x 1
t :
-
= =
+
Solução:
a) PÎr se, e somente, existe ho ÎIR tal que:
( 1,0,2) ( 7, 3, 7) h (2,1,3)
o
- = - - - + .
Ou seja, (6,3,9) h (2,1,3)
o
= . É fácil verificar que ho = 3 torna a igualdade
acima verdadeira, logo PÎr .
b) PÎs se, e somente,existe ho ÎIR tal que
ï
î
ï
í
ì
=
= - +
- = - -
o
o
o
2 2 h
0 1 h
1 3 h
o que é impossível, pois, da primeira equação temos ho = - 2 e da
segunda ho = 1. Logo, P Ïs.
c) PÎt se, e somente,
2
2 4
3
0
2
1 1 -
= =
- +
. Como 0 ¹ -1 temos que
PÏt.
3. Seja z
4
y 2
2
x 1
r : =
+
=
-
. Determine uma equação de r nas formas
vetorial e paramétrica.4
Solução:Das equações simétricas de r temos v (2,4,1)
r
=
r
e P(1,-2,0) é um ponto
da reta r. Assim, (x, y, z) = (1,-2,0) + h (2,4,1); hÎIR e
; h IR
z h
y 2 4 h
x 1 2 h
Î
ï
î
ï
í
ì
=
= - +
= +
, são equações da reta r nas formas vetorial e
paramétrica, respectivamente.
CAPÍTULO II - EQUAÇÕES DO PLANO
2.1 Equação Vetorial
Um dos axiomas da Geometria Espacial nos diz que trêspontos não
colineares determinam um plano. Consideremos então p o plano
determinado pelos pontos A, B e C. Desejamos encontrar uma condição
necessária e suficiente para que um ponto X pertença ao plano p.
Observemos então que, como A, B e C são não colineares, os vetores
® ®
BA e AC são linearmente independentes com representantes em p.
Portanto, um ponto X pertence ao plano p se, e...
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