eq parametricas e diferencial cal ii 2012

ENG. MECÂNICA

CÁLCULO II
Professor: RENATO SACCO

Equações Paramétricas
Equação: x=f(t) e y=f(t) . No instante t a partícula está no ponto (f(t). G(t)).
A equação para x descreve o movimento para a direita e para a esquerda enquanto que a equação y descreve para cima e para baixo. Estas duas equações são chamadas de paramétricas.

 x 2t  1 seja a equação 
 y 4t  3

De fato, a função x=2t+1 é inversível, e sua inversa é dada por t=1/2(x-1).
Substituindo este valor na equação y=4t+3 , obtemos a equação cartesiana da função y(x), que é dada por y=4[1/2(x-1)]+3 portanto y=2x+1

 x a cos t
As equações  
 y asent

t   0,2

Onde a é uma constante positivas, representa uma circunferência de centro na origem e raio a.

Para obter a equação cartesiana, devemos eliminar o parâmetro t.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x a cos t y a sen t
2

2

2

x  y a cos t  a sen t x  y a .1

Derivada de uma Função na Forma Paramétrica
Suponhamos que a função y = y(t), x = x(t) e sua inversa t = t(x) são deriváveis. Podemos ver a função y=y(x), definidas pelas equações, como uma função composta.

 x  x t 
Seja 
 y  y  t   t   a, b 

y  y t  x  

dy e aplicar a regra da cadeia
 y´(t ).t´(x) dx Como x=x(t) e sua inversa t = t(x) são deriváveis logo:

dy y´(t )
Substituindo teremos

dx x´(t )

1 t´(x)  x´(t )

Exemplos:

 x 3t  1 dy 18t  6


 6t  2

2 dx 3
 y 9t  6t
Se quisermos o valor da derivada dy/dx em função de x, devemos determinar t=t(x) que é t = 1/3(x+1) e substituir em 6t-2 assim

dy
1
6. ( x  1)  2 dx 3 dy 2( x  1)  2  2 x  2  2  2 x dx DIFERENCIAL
Acréscimos : Seja y=f(x) um função. Podemos sempre considerar uma variação da variável independente x. Se x varia de x1 a x2, definimos o acréscimo de x . Delta x.

x  x2  x1
A variação de x origina uma correspondente variação de y.

y  f  x2   f  x1   ou
y  f  x1  x   f  x1 

Sejam y=f(x) um função derivável e

x um acréscimo de x.