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Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
Este teorema permite ocálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo dedeterminantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatrodeterminantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros.
Para expandir um determinantepelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários.
Pierre Simon Laplace -(1749-1827) - Matemático e astrônomo francês.

3 - Cálculo da inversa de uma matriz.

a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X-1 , tal que X . X-1 = X-1 . X = In , onde In é a matriz identidadede ordem n.

b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator. 
Símbolo: cof A .

c) Fórmula para o cálculo da inversa de umamatriz:

Onde: A-1 = matriz inversa de A;
det A = determinante da matriz A;
(cof A)T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A
.
 
Exercícios propostos

1 - Se A = ( aij ) é matrizquadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o seu determinante é igual a:
*a) 0

b) 1
c) 2
d) 3
e)-4

2 - UFBA-90 - Calcule o determinante da matriz:

Resp: 15
3- Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i  j e aij = i + j se i  j. Pede-se calcular a soma dos elementos da diagonal secundária.

Resp: 12
4 - As matrizes A e B, quadradas...
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