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Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton:
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5
Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:
Vamos tomar por exemplo, o item (d) acima:
Observe queo expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio,
ou seja, igual a 5.
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra Erro! Areferência de hiperlink não é válida. de fácil memorização:
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo.Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos: 5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é ocoeficiente do terceiro termo procurado.
Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b Erro! A referência de hiperlink não é válida. de 0 até n. Assim o terceirotermo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b Erro! A referência de hiperlink não é válida. de 1 para 2).
Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio deNewton (a + b)7 será:
(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7
Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a2b5) ?
Pela regra: coeficiente do termoanterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5.
Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21,que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.
Observações:
1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.
2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .
3) os...
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