Engenharia

INTEGRAÇÃO POR PARTES (WIKPÉDIA)
No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.
A fórmula típica é a seguinte, onde e são funções de classe C1 no intervalo , ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b.
A fórmula canônica é dada pela seguinte expressão:

ou, ainda, de forma mais enxuta:

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Exemplos
Algumas antiderivadas são facilmente obtidas via integração por partes, então vejamos alguns exemplos: *
Onde escolheu-se e * mediante e
Uma demonstração simples pode ser obtida através da regra do produto

integrando esta expressão entra a e b, temos:

Concluímos a demonstração, através do teorema fundamental do cálculo:

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Dada a integral

o propósito de usar a técnica de integração por partes é transferir essa integral para uma integral a qual espera-se que saibamos calcular, ou seja:

Assim, ao integrar por partes uma integral da forma,

sempre devemos escolher quem será a função entre as funções e do integrando acima. Surge a pergunta: "Como fazer esta escolha?"

Uma sugestão que funciona bem na maioria das vezes é escolher as funções e através do diagrama LIATE que foi publicado como uma pequena nota em uma edição antiga da revista American Mathematical Monthly que descreveremos abaixo.

Considere o diagrama com as funções elementares abaixo:
Nesse acróstico, as letras da palavra LIATE são iniciais de diferentes tipos de funções e a estratégia que deve ser adotada é:

"Escolher como função , a função cuja letra inicial está mais próxima de L e para formar a diferencial , escolhemos a função cuja letra inicial posiciona-se mais próxima de E".

Vejamos alguns exemplos:
1) Na integral

escolhemos (Algébrica) e