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MATEMÁTICA II
(Módulo de Análise Matemática)
Apontamentos das aulas Problemas propostos Soluções dos problemas propostos

Mestrado Integrado em Engenharia Química

FEUP

João M. M. Mendonça

Capítulo # 7 COORDENADAS POLARES E CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO

7.1 7.2 7.A

Coordenadas polares no plano Curvas paramétricas no plano Curvas planas do 2º grau ou “cónicas”

7.1COORDENADAS POLARES NO PLANO ________________________________________________________________ 7.1 Coordenadas polares no plano

A posição de qualquer ponto P do plano pode ser representada pelas suas coordenadas polares (r,θ), depois de definirmos um ponto O como sendo o pólo, e uma semi-recta com origem em O como sendo o eixo polar. A coordenada radial r representa a distância do ponto P ao pólo O,enquanto que a coordenada angular θ representa o ângulo que o segmento OP faz com o eixo polar:

Por definição, o sentido positivo para a marcação da coordenada angular ou ângulo polar é o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. O valor de θ é arbitrário para o pólo O, já que este é o único ponto do plano cuja coordenada radial é igual a zero.

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CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVASPARAMÉTRICAS NO PLANO ________________________________________________________________ As coordenadas polares de um ponto, ao contrário das suas coordenadas rectangulares, não têm um valor único, pois o ponto P(r,θ) também pode ser representado por P(r, θ + 2kπ), com k ∈ Z. Por vezes, é conveniente utilizar coordenadas radiais negativas, definidas da seguinte forma: (r,θ) e (– r, θ + π) sãorepresentações alternativas do mesmo ponto em coordenadas polares. Como iremos ver mais à frente, esta definição é particularmente útil quando lidamos com curvas em coordenadas polares.

7.1.1

Relações entre coordenadas polares e rectangulares

Em muitos problemas, há necessidade de utilizar simultaneamente coordenadas polares e coordenadas rectangulares no plano. Quando tal acontecer, considera-sepor convenção que o pólo do sistema de coordenadas polares é coincidente com a origem do sistema de coordenadas rectangulares, e que o eixo polar é coincidente com a parte positiva do eixo Ox:

Utilizando esta convenção, resultam imediatamente da figura as seguintes relações entre os dois sistemas de coordenadas:

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7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO________________________________________________________________ ⎧ 2 2 2 ⎪ r = x + y ⎪ ⎧x = r cos θ y e ⎨ ⎨tg θ = , se x ≠ 0 x ⎩y = r sen θ ⎪ ⎪ θ = ± π /2 , se x = 0 e y ≠ 0 ⎩ Se x > 0, o ponto P estará situado no 1º ou no 4º quadrantes, e então podemos escrever que θ = arctg (y/x); porém, se x < 0, o ponto P estará situado no 2º ou no 3º quadrantes, e deveremos escrever θ = π + arctg (y/x), já que, como é sabido, o contradomínio da funçãoarctg é o intervalo ]– π/2, π/2[. Como a coordenada θ não está definida para a origem das coordenadas, este ponto pode ser representado em coordenadas polares por (0, θ), em que o ângulo θ é arbitrário. Exemplo 7.1 Escrever todas as representações possíveis em coordenadas polares do ponto com coordenadas rectangulares (1, 3).

⎧x = 1 ⎨ ⎩y = 3



⎧r 2 = 4 ⎪ ⎨ ⎪tg θ = 3 ⎩



⎧r = ± 2 ⎨⎩θ = π / 3 ∨ θ = 4π / 3

Como o ponto em causa é do 1º quadrante (x > 0 ∧ y > 0), se utilizarmos o valor positivo para a coordenada radial, a correspondente coordenada angular deverá ser π/3: (2, π/3) ou, mais geralmente, (2, π/3 + 2kπ), com k ∈ Z. Se, porém, utilizarmos o valor negativo para a coordenada radial, então a correspondente coordenada angular deverá ser 4π/3: (– 2, 4π/3) ou, maisgeralmente, (– 2, 4π/3 + 2kπ), com k ∈ Z.

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CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO ________________________________________________________________ 7.1.2 Curvas em coordenadas polares

Algumas curvas têm equações muito mais simples em coordenadas polares do que em coordenadas rectangulares, o que justifica a utilização de coordenadas polares em muitos problemas que...
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