Engenharia

MATEMÁTICA II
(Módulo de Análise Matemática)
Apontamentos das aulas Problemas propostos Soluções dos problemas propostos

Mestrado Integrado em Engenharia Química

FEUP

João M. M. Mendonça

Capítulo # 7 COORDENADAS POLARES E CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO

7.1 7.2 7.A

Coordenadas polares no plano Curvas paramétricas no plano Curvas planas do 2º grau ou “cónicas”

7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO ________________________________________________________________ 7.1 Coordenadas polares no plano

A posição de qualquer ponto P do plano pode ser representada pelas suas coordenadas polares (r,θ), depois de definirmos um ponto O como sendo o pólo, e uma semi-recta com origem em O como sendo o eixo polar. A coordenada radial r representa a distância do ponto P ao pólo O, enquanto que a coordenada angular θ representa o ângulo que o segmento OP faz com o eixo polar:

Por definição, o sentido positivo para a marcação da coordenada angular ou ângulo polar é o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. O valor de θ é arbitrário para o pólo O, já que este é o único ponto do plano cuja coordenada radial é igual a zero.

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CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO ________________________________________________________________ As coordenadas polares de um ponto, ao contrário das suas coordenadas rectangulares, não têm um valor único, pois o ponto P(r,θ) também pode ser representado por P(r, θ + 2kπ), com k ∈ Z. Por vezes, é conveniente utilizar coordenadas radiais negativas, definidas da seguinte forma: (r,θ) e (– r, θ + π) são representações alternativas do mesmo ponto em coordenadas polares. Como iremos ver mais à frente, esta definição é particularmente útil quando lidamos com curvas em coordenadas polares.

7.1.1

Relações entre coordenadas polares e rectangulares

Em muitos problemas, há necessidade de utilizar simultaneamente coordenadas polares e coordenadas rectangulares no plano. Quando tal acontecer, considera-se