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DFis/ICEx/UFMG – Prof. Maurílio Nunes Vieira - Experimentos em Acústica – Projeto PEG 2008/69

Exp. 1 - Vibrações Mecânicas
1.Objetivos
• Analisar o comportamento de um sistema massa-mola com atrito excitado por uma força alternada senoidal; • Estudar a influência do amortecimento na dinâmica do oscilador massa-mola; • Analisar o comportamento transitório do oscilador; • Estudar a dependênciada impedância mecânica com a freqüência.

2. Introdução
2.1.Oscilador massa-mola sem atrito
Considere o sistema massa-mola da figura 1.

l L

s

m m

x

Figura 1:Oscilador massa-mola. Na figura central, o oscilador está em repouso (x=0)

De acordo com a Lei de Hooke, a força que a mola exerce sobre a massa é F = − sx , onde s é a constante elástica da mola e x é a respectivadeformação. No equilíbrio, igualando-se a força elástica com o peso, temos:

mg = sL .

(1)

Se o sistema for, de alguma forma, deslocado da posição de equilíbrio teremos, de acordo com a 2ª. lei de Newton:

− s ( L + x) + mg = m

d 2x d 2x → mg − sL = m 2 + sx → dt 2 dt
(2)

m

d 2x + sx = 0 . dt 2

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Esta equação admite como solução:

x(t ) = A cos(ω 0 t + φ ) ,
onde ω0 =

(3)

s / m é a freqüência angular, sendo as constantes A e φ

calculadas em função da posição e velocidade iniciais da massa.

2.2.Oscilador amortecido

s

Rm

m
Fig. 2 - Oscilador massa-mola amortecido

Considere que no sistema da figura 2 haja apenasatrito viscoso, isto é, que a força de atrito Fatr é proporcional à velocidade da massa. Assim:

Fatr = − Rm

dx , dt

onde Rm é uma constante positiva denominada resistência mecânica. A equação que descreve a oscilação deste sistema é, portanto,

d 2x dx m 2 + Rm + sx = 0 . dt dt
A equação do movimento pode ser reescrita como

(4)

d 2 x Rm dx 2 + + ω0 x = 0 , 2 m dt dt
que admite asolução (exercício 1):

(5)

x(t ) = Ae
onde β =
1 2



βt

cos(ω d t + φ ) ,

(6)

2 Rm / m é o coeficiente de amortecimento e ω d = ω 0 − β 2 é a

freqüência natural angular do sistema amortecido. Note que o amortecimento diminui a freqüência de oscilação do sistema, mas esta diminuição pode ser desprezível dependendo das características do oscilador.

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2.3. Oscilador forçado
Se o oscilador da figura 2 for excitado por uma força alternada harmônica f (t ) = F cos(ωt ) , a equação do movimento será

d 2x dx m 2 + Rm + sx = F cos(ωt ) . dt dt

(7)

Este sistema terá uma resposta (“solução”) transitória e uma resposta permanente. Ocomportamento transitório corresponde às oscilações livres do sistema (Equação 6). Matematicamente, é a solução homogênea da equação 7, obtida com f (t ) = 0 , resultando na equação 6 da seção anterior. As oscilações transitórias decaem com e − βt e tornam-se insignificantes após um intervalo de tempo longo o suficiente para que β t >> 1 . A partir daí, considera-se que as oscilações estejam emregime estacionário. Para determinar a resposta estacionária, que é a solução particular da equação 7, vamos reescreve-la usando exponenciais complexas, lembrando jωt que f (t ) = F cos(ωt ) = re[ Fe ] . Desta forma,

m

d 2x dx jω t + Rm + sx = Fe . 2 dt dt

(8)

Como a força externa é uma função harmônica (co-senóide) com freqüência ω e o sistema é linear, o deslocamento em regimepermanente poderá ter comportamento oscilatório de mesma freqüência, isto é, x = Ae jωt , jωt onde A é uma constante a ser definida. Substituindo-se x = Ae na equação 8 e resolvendo-a para A , obtém-se: jω t Fe , (9) x=

jω[ Rm + j (ωm − s )]

ω

onde o termo Rm + j (ωm − s / ω ) é denominado impedância mecânica. Ele será discutida com mais detalhes posteriormente. Superpondo os regimes...
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