Engenharia

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Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciˆncias Exatas e Departamento de Matem´tica a

´ Uma Aplica¸˜o de Algebra Linear ` Engenharia Civil: ca a Projeto de Estrutura Met´lica a
Prof. Ricardo Takahashi – DMAT
Considere o problema do projeto de uma estrutura met´lica como esbo¸ada na Figura 1. Trata-se de um a c guindaste que dever´ i¸ar cargas. O problema consiste em determinarqual ´ o esfor¸o mecˆnico em cada a c e c a viga da estrutura, de modo que se possa escolher as vigas com a resistˆncia adequada. e
F1 F2

1

2

PSfrag replacements 3 4

5

6

Figura 1: Diagrama de estrutura met´lica composta de vigas. a O c´lculo das for¸as que incidem na estrutura, F1 e F2 , ´ imediato, conhecendo-se a massa que ir´ ser a c e a suspensa e o comprimento do bra¸o doguindaste. Com essas for¸as, ´ preciso agora calcular a for¸a exercida c c e c por cada viga nos n´s (pontos de interse¸ao de duas ou mais vigas) para que a estrutura permane¸a em o c˜ c equil´ ıbrio. Essas for¸as ser˜o denotadas pelas vari´veis fij , em que os ´ c a a ındices indicam os n´s ligados por esta o viga. Assim, por exemplo, a for¸a f41 significa a for¸a exercida sobre o n´ 4 pela viga queliga o n´ 4 ao n´ c c o o o 1. A somat´ria das for¸as em cada n´, de 1 a 6, deve ser nula tanto na dire¸ao horizontal quanto na dire¸ao o c o c˜ c˜ vertical. Para montar o conjunto de equa¸oes, tomemos como exemplo o n´ 1. O n´ 1 ´ afetado pelas vigas c˜ o o e que o ligam aos n´s 2, 3 e 4. As equa¸oes que implicam no equil´ o c˜ ıbrio de for¸as sobre o n´ 1 s˜o: c o a f12 cos θ12 + f13 cos θ13 +f14 cos θ14 = F1 (1) f12 sin θ12 + f13 sin θ13 + f14 sin θ14 = 0 1

sendo que θij representa o angulo entre a viga (ij) e a vertical. Construindo cada equa¸ao da somat´ria das ˆ c˜ o for¸as em cada um dos n´s, obt´m-se o seguinte conjunto de equa¸oes: c o e c˜ f12 cos θ12 + f13 cos θ13 + f14 cos θ14 = F1 f12 sin θ12 + f13 sin θ13 + f14 sin θ14 = 0 f21 cos θ21 + f23 cos θ23 + f24 cos θ24 = F2 f21sin θ21 + f23 sin θ23 + f24 sin θ24 = F2 f31 cos θ31 + f35 cos θ35 + f32 cos θ32 + f36 cos θ36 = 0 f31 sin θ31 + f35 sin θ35 + f32 sin θ32 + f36 sin θ36 = 0 f41 cos θ41 + f45 cos θ45 + f42 cos θ42 + f46 cos θ46 = 0 f41 sin θ41 + f45 sin θ45 + f42 sin θ42 + f46 sin θ46 = 0 f35 sin θ35 + f46 sin θ46 + f54 sin θ54 + f63 sin θ63 = 0, A ultima equa¸ao diz respeito ao equil´ ´ c˜ ıbrio de toda aestrutura, que n˜o deve ter em conjunto nenhuma a acelera¸ao horizontal. c˜ Claramente, fij = −fji . Assim, por exemplo, f12 = −f21 . O conjunto de vari´veis a serem determinadas, a portanto, pode ser arranjado no vetor:   f12  f13     f14     f23    f =  f24  .    f35     f36     f45  f46 Definindo um vetor F e uma matriz Ω da seguinte forma:   F1  0     F2     0   F =  0 ,    0     0     0  0  
cos θ12

(2)

 sin θ12  − cos θ12   − sin θ12 Ω=  0   0 
0 0

cos θ13 sin θ13 0 0 − cos θ13 − sin θ13 0 0

cos θ14 sin θ14 0 0 0 0 − cos θ14 0

0 0 cos θ23 sin θ23 − cos θ23 − sin θ23 0 0

0 0 cos θ24 sin θ24 0 0 − cos θ24 0

0 0 0 0 cos θ35 sin θ35 0 sin θ35

0 0 0 0 cos θ36 sin θ36 0 sin θ36

0 0 0 0 0 0 0 sin θ45

00 0 0 0 0 cos θ46 sin θ46

    ,    

2

´ f´cil verificar que a Equa¸ao (2) ´ equivalente ` equa¸ao matricial: e a c˜ e a c˜ Ωf = F (3)

Qual ´ a vantagem de se escrever (2) na forma (3)? H´ in´meras vantagens: Deve ter ficado claro para o e a u a leitor que h´ uma regra simples que leva diretamente do desenho da Figura 1 para as entradas da matriz o Ω. Qualquer que fosse aestrutura composta de vigas que se ligam em n´s, a regra seria a mesma. Seria ıvel c˜ poss´ representar por meio de uma matriz Ω qualquer estrutura, e essa representa¸ao poderia ser obtida automaticamente (por meio de um programa de computador). Uma vez nessa forma, torna-se pertinente perguntar: quais s˜o as solu¸oes desse problema? Quais s˜o os valores necess´rios para as resistˆncias que a c˜ a...
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