Engenharia Civil

Cálculo III - Segunda atividade de EAD
Valor da atividade - 2,0 pontos, divididos em:
- 0, 5 (meio ponto) pela entrega dos exercícios propostos, resolvidos a mão.
- 1, 5 (um ponto e meio) relativo a uma questão proposta na prova 2.

Data da entrega: (SEM direito a prorrogação) - 30/09/2013.
IMPORTANTE: Quem por acaso necessitar faltar à aula no dia marcado para a entrega, entregue antecipadamente ao professor ou peça a alguém para fazer a entrega.

SOB HIPÓTESE ALGUMA haverá outra data para a entrega.
O material está a seguir.
Objetivo: trabalhar com a derivada usando a regra da cadeia.
Atividade: Ler o texto, analisar os exemplos e fazer a resolução completa dos exercícios propostos.

Regra da cadeia
Exemplo 1: Seja z = f (x, y) = x.cosy - 2x3 + 3.
Tem-se

z
z
= cosy - 6x2 e
= - x.seny.
x
y

Note-se que, no caso, as variáveis x e y não são, cada uma delas, função de outra variável.
Exemplo 2: Agora, considerando uma nova situação para z = f (x, y) = x.cosy - 2x3 + 3, na qual x = 2t e y = t3, temos x = g(t) e y = h(t).
Considerando tal situação, z = f (x, y) pode ser escrita z = f [g(t), h(t)]. As derivadas de x e y serão, respectivamente, dy dx =2e
= 3t2. Se tivermos z dt dt

= f (x, y) = x.cosy - 2x3 + 3, com x = 2t e y = t3, temos que z = f (x, y) é uma função composta.
Neste caso, a derivada de z em relação a x fica

Outra forma de derivar z = f (x, y) seria substituindo x por 2t e y por t3 antes de derivar, levando à forma z = f (t) = (2t).cos(t3) - 2(2t)3 + 3 = 2t.cos(t3) - 4t3
+3. A derivada de z(t) é (2t)’. cos(t3) + 2t.[cos(t3)]’ (4t3)’ + (3)’ = 2. cos(t3) + 2t.[- sen(t3)].(t3)’ - 3.4.t2 +
0 = 2.cost3 - 2t.(sen t3).3.t2 = 2.cost3 - 6t3.sen t3.
Em alguns casos é mais simples substituir x = f (t) e y = f (t) antes de realizar a derivação. Em outros casos é melhor fazer

z z dx z dy
=
+
t x dt y dt

.

Observando mais atentamente a forma derivada

z z dx z dy
=
+
, pode-se notar