Engenharia ambiental

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ALUNO (a): 3a Lista de Exerc´ ıcios 1. Calcule as integrais definidas:
5 2

. PER´ IODO: TURNO:

. SEMESTRE: 2012-2 . .

´ DISCIPLINA: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II.

(a)
2 2

3 dx 6 dx
−1

(c) (d)
5



4

5 dx

(e)
1

√ √ 3 ( 2t + t)dt

5

(g)
1 1 0



2t − 1dt
2

−2 −2

π 2

(b)

2 dx

(f)
0

cos (x) dx (h) [1 + sen (x)]3
2

xex

−1dx
2

2. Calcule as integrais definidas usando os seguintes resultados:
−1 π 2 π π

x2 dx = 3,
−1

dx =

3 , 2

sen (x) dx = 2,
0 2 −1

x dx = 3,
0

2

cos (x)dx = 0,
0 −2

π sen (x)dx = . 2
2

(a)
−1 2

(2x2 − 4x + 5)dx 2 − 5x +
−1 −1

(d)
−1 π

(x − 1)(2x + 3)dx (2 sen (x) + 3 cos (x) + 1)dx
0 π

(b) (c)
2

x2 2

dx

(e) (f)
0

(2x + 1)2 dx

(cos (x) + 4)2 dx

3. Calcule as seguintes integrais:
3

(a)
−1 2

4dx (h)
3

−1 −2 1

(b)
0 3

(x + 3x − 1)dx (i) (3x2 − 4x + 1)dx
0 6

1 +x x2

1

dx

(n)
0 0

√ 3

5 − xdx

e2x dx
−1 4

(o)
−1 1

√ x x + 1dx

(c) (d)
3 5

(j) (x2 − 2x)dx (k) |x − 3|dx
0 1

(5x +
1



x)dx

(e)
−2
π 8

1 dx x+1 sec 2 xdx

π 4

(l) sen (2x)dx
0

(f)0 2

1 dx (x + 1)5 0 1 x2 (q) dx 3 0 1+x 1 x2 (r) dx 3 2 0 (1 + x ) (p)
π 3

2

(g)
1

1 dx x2

(m)
1

(x − 2)5 dx

(s)
0

cos (2x)dx

4. Calcule as seguintes integrais:
π 2

1

(a)
π 4

cos (x) ln ( sen (x)) dx (e) x5 dx
x

1

0 1 0 2

(b)
0

(f)

√ 3

ekt dt , k = 0 k x dx 5 (x2 + 4) √ x2 dx + 4x + 8 9 − e2t dt

a

(i)
0 1

x

a2 − x2 dx a2 +x2 x2

π

(c)
0
π 3

x5 cos x3 dx tg (x) sec 3 (x) dx

(g)
0

ln (3)

(d)
0

(h)
0

et

3 dx (x + 1) 2 dx (k) dx 2 + 12x − 7 1 4x 4 2x2 + 1 (l) dx 2 2 (x + 1) (x + 2) 0

(j)

4

2

5. Se f for cont´ ınua e
0 9

f (x) dx = 10, encontre
0 3

f (2x) dx. xf x2 dx.
0

6. Se f for cont´ ınua e
0

f (x) dx = 4, encontre

7. Se f for cont´ ınua em R, demonstreque
b b+c

f (x + c) dx =
a a+c

f (x) dx.

8. Se a e b forem n´meros positivos, mostre que u
1 0

xa (1 − x) dx =
0

b

1

xb (1 − x) dx.

a

9. Calcule as seguintes derivadas: (a) d dx d (b) dx (c) d dx
x

t2 + 1
0 x

1 3

dt

(e) (f)

d dx

x4

cos t2 dt
0 sen x 1 x √

t sen (t) dt
0 ex

1 + t2 dt
x x3 0

d dx d (g) dx d (h) dx
x

1 − t2 dt 1 +t4

d (d) dx

t √ dt 1 + t3

x 3x+1

et dt t sen t4 dt

2x

10. Seja f uma fun¸˜o cont´ ca ınua em [a, b] e suponha que f e a. 11. O n´mero u µ= 1 b−a
a b a

f (t) dt = x, para todo x ∈ [a, b]. Determine

f (x) dx

´ chamado valor m´dio da fun¸˜o f no intervalo [a, b]. e e ca Calcule o valor m´dio das fun¸˜es nos intervalos indicados: e co (a) f (x) = sen 2 (x); (b) f (x) = 2 +5 cos (x); (c) f (x) = ln (x); [1, 2] [0, π] [−π, π] (d) f (x) = (e) f (x) = x ; 1 + x2 cos (x) [0, 1] ; 0, π 2

sen (x) (f) f (x) = x2 ex ; [0, 1]

12. Se f for uma fun¸˜o cont´ ca ınua tal que
x x

f (t) dt = xe2x +
0 0

e−t f (t) dt

para todo x, ache uma f´rmula expl´ o ıcita para f (x). 13. Suponha que h seja uma fun¸˜o tal que h(1) = −2 , h (1) = 2 , h (1) = 3 , h(2) = 6 , h (2)= ca 5 , h (2) = 13 , e h seja cont´ ınua em toda parte. Calcule
2 1

h (u) du.

14. Se f for cont´ ınua em [a, b], mostre que
b

2
a

f (x)f (x) dx = [f (b)] − [f (a)]

2

2

15. Encontre lim

1 h→0 h

2+h

1 + t3 dt.
2

16. Se f for cont´ ınua em [0, 1], demonstre que
1 1

f (x) dx =
0 x 0

f (1 − x) dx

17. Esboce o gr´fico de f (x) = a
0

2te−t dt.

218. Calcule a ´rea da regi˜o limitada pelos gr´ficos das fun¸˜es: a a a co    y = x2 − 4x   y 2 = 8x     y=0 (j)  2x − 3y + 8 = 0 (a)  x=1      y 2 = 2x + 1   x=4 (k)  x−y−1=0   y = x2 − 4x     y = 2x − x2 (b) y=x (l)    y = x2  y = x3    y 2 = 2x  y = x2 (m) (c)  x−y =4  y = x3    y = x2 + 1  y = (x + 1) (x − 1) (x + 2)     (d)  y = 3 − x2  y=0 (n) ...
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