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Curso de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil

Prof. Romel Dias Vanderlei

Prof. Romel Dias Vanderlei

CAPÍTULO 4:
DEFLEXÃO DE VIGAS

4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Linha Elástica é a curva que representa o eixo da
viga após a deformação.

Linha Elástica

A deflexão “v” é
o deslocamento
de qualquerponto no eixo
da viga.

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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Quando a viga é flexionada, ocorrem em cada ponto
ao longo do eixo uma deflexão (v) e uma rotação (θ).
O ângulo de rotação “θ” é o ângulo entre o eixo “x” e
a tangente à curva da linha elástica.

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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Da figuravemos que:



ρ .d θ = ds
k=

1

ρ

=


ds

dθ em radianos

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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Da figura vemos que:

dv
= tg θ
dx



Inclinação da Linha Elástica

 dv 

 dx 
dx

cos θ =


ds
e: 
 sen θ = dv

ds


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θ = arctg

4.1 Equação Diferencial da Linha ElásticaVigas com Pequenos Ângulos de Rotação: θ 0

ds ≈ dx → k =

1

ρ

=


dx

dv
= θ , sendo θ em radianos.
dx
2
Logo, fazendo: dθ = d v
dx dx2
1 d 2 v Equação válida para
k= =
pequenas rotações
ρ dx 2
tgθ ≈ θ



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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Para materiais elástico lineares (Lei de Hooke):

σ x = E⋅ ε x

∫σ

x

εx =

e1

ρ

⋅y=k⋅y

⋅ dA ⋅ y = M → ∫ E ⋅ ( k ⋅ y ) ⋅ y ⋅ dA = M

A

A

E ⋅ k ∫ y 2 ⋅ dA = M → E ⋅ k ⋅ I z = M → k =
A

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Logo:

d 2v M
=
dx 2 EI z

M
E ⋅ Iz

Equação Diferencial da
Linha Elástica

4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Convenções de Sinais:
(1)Eixos:

y(+)
x(+)

(2) Deflexão: v(+)
(3) Rotações: dv e θ

dx

(4)Curvatura k:

y
(+)

x

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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Convenções de Sinais:
(5) Momentos:

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(6) Carregamentos:

4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Equações Adicionais:

dM
=V
dx

;

dV
= −q
dx

e

d 2M
= −q
dx 2

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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
VigasNão Prismáticas : seção variável com x.

d 2v
→ EI ( x ) ⋅ 2 = M
dx

dM
=V
dx

d
d 2v 
 EI(x) ⋅ 2  = V

dx 
dx 



dV
= −q
dx

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d 2v
M
=
dx 2 EI ( x )

d2 
d 2v 
 EI ( x) ⋅ 2  = −q

dx 2 
dx 



4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Vigas Prismáticas: rigidez (EI)
Momento Fletor:
d 2v M
=
dx 2 EI zconstante

d 2v
→ EI z ⋅ 2 = M → EI z ⋅ v ′′ = M
dx

Força de Cisalhamento:
dM
=V
dx

→ EI z ⋅

d 3v
=V
dx 3



EI z ⋅ v ′′′ = V

Carregamento:
dV
d 4v
= − q → EI z ⋅
= −q →
dx
dx 4

EI z ⋅ v ''' ' = − q

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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Condição de Contorno: relativas às deflexões e
rotações nos apoios.

→ v=0 e M =0
→ v=0 e M=0

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→ v = 0 e v′ = 0

4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Condição de Contorno: relativas às deflexões e
rotações em vigas biapoiadas.

x = 0 → v = 0 e v′′ = 0 pois M = 0

x = L → v = 0 e v′′ = 0 pois M = 0

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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Condição de Contorno: relativas às deflexões e
rotações em vigasengastadas.

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 x = 0 → v = 0 e v′ = 0

 x = L → v ′′ = 0 pois M = 0
 x = L → v ′′′ = 0 pois V = 0


4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Condição de Continuidade:

No ponto C:

(v )AC

= (v )CB

(v ′ )AC

= (v ′ )CB

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4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Exemplo1: Determine...
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