Energia potencial gravitacional

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Introdução
A energia potencial gravitacional é a energia potencial mais familiar, porque é muito vista no dia-a-dia, aparecendo em muitos tipos de movimentos em que é convertida em energia cinética, como por exemplo: na queda de objetos, no sistema solar, no balançar do pêndulo, no arremesso de dardos, ao pular, e muitos outros exemplos que envolvam a gravidade.
O seu potencial tem como causa,como o nome sugere, a força da gravidade, que por definição, está relacionada com a massa dos corpos e as separações entre essas. Neste trabalhos iremos conhecer um pouco melhor sobre a energia potencial gravitacional e suas caracteristicas.





























Energia Potencial Gravitacional
Expressão genérica
• Corpos Puntuais
Sabe-se que o campo dasforças gravitacionais entre dois corpos puntuais 1 e 2, cuja posição relativa é o vetor é:

onde G representa a constante de gravitação universal, m1 e m2 representam as massas em interação, representa o vetor que localiza uma das massas em relação à outra e representa o módulo (tamanho) do vetor , ou seja, a distância entre as massas.
Sendo o campo gravitacional um campo conservativo, épossível definir o seu potencial como uma função tal que:

Partindo da definição e operando em coordenadas cartesianas tem-se que:

Logo, a função potencial é:

Da expressão acima, é possível perceber que a energia potencial depende da distância entre os dois corpos sem contudo levar em consideração o vetor-posição de um em relação ao outro. Então pode ser escrita como:

Considerandoque se saiba que o campo gravitacional é conservativo, também é possível determinar o potencial através da expressão:

cujo resultado é igual ao determinado anteriormente.
• Corpos Extensos
Para determinar-se a interação gravitacional entre corpos extensos é necessário proceder-se com o cálculo de uma integral de volume sobre os dois corpos a fim de determinar-se a soma das interaçõesgravitacionais entre os infinitos diferenciais de massa nos quais dividem-se os corpos. Tal cálculo mostra-se geralmente dependente da geometria dos corpos, podendo mostrar-se bem complicado em certos casos. Contudo Newton mostrou, com o uso do cálculo diferencial e integral, que pontos externos à uma esfera com distribuição simétrica de massa encontram-se sujeitos a potenciais gravitacionais por eladeterminados que são para todos os efeitos completamente análogos àqueles que seriam determinados por uma partícula puntual localizada no centro da esfera uma vez provido que essa encerre em si massa equivalente à massa de toda a esfera. Nesses termos, Newton demonstrou que a expressão geral acima vale também para corpos esféricos que apresentem distribuições de massa (densidades) com simetriaesférica (formado por cascas homogêneas), e a citada expressão pode, a exemplo, ser utilizada para calcular-se a energia potencial armazenada em um sistema formado pelo planeta Terra e pela Lua com excelente aproximação, a exemplo. A distância a considerar-se é, no caso, a distância entre os centros dos astros em questão.
Aproximação para campo gravitacional uniforme
Considerando o campogravitacional próximo à superfície da Terra como sendo uniforme (assumindo as linhas de campo paralelas e a gravidade sendo constante em todos os pontos), define-se o campo das forças gravitacionais como sendo:

Partindo da definição de potencial, calcula-se o potencial, nesse caso, como sendo:

Ou seja, o potencial gravitacional pode ser calculado, nessa aproximação, pelo produto do peso (massavezes gravidade) pela altura em que o corpo se encontra.

Nessa aproximação, válida para pequenas variações de altura em torno de um nível de referência, geralmente a superfície da Terra, usa-se necessariamente um determinado nível como referência, sendo comum adotar-se o nível mais baixo no problema como o ponto de energia potencial zero, o nível do solo, a exemplo. Sendo a energia potencial...
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