Energia cinetica

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O teorema do trabalho-energia é um teorema da mecânica clássica, segundo o qual, o trabalho mecânico, W, realizado sobre um corpo de massa, M, por uma força é igual a variação da energia cinética do corpo:

W = ΔK

onde, ΔK é a diferença entre a energia cinética final, Kf, e a energia cinética inicial, Ki, do corpo, ΔK = Kf − Ki.


Este teorema também é chamado de Teorema da EnergiaCinética (TEC).


1 Demonstração: Caso Particular, Força Constante

Esta demonstração do teorema trabalho-energia é uma das mais belas da mecânica clássica. Para demonstrá-lo, partimos das definições de velocidade e aceleração e usamos a segunda lei de Newton para, por fim, usar as definições de trabalho e energia cinética.

A demonstração assume que o corpo está em movimento retilíneouniformemente variado (MRUV), ou seja, que sua aceleração linear é constante. Do ponto de vista da dinâmica, isto equivale a dizer que a força que realiza trabalho sobre o corpo também é constante. Para facilitar a demonstração, vamos representar as grandezas vetoriais deslocamento, velocidade, aceleraçao e força na suas formas escalares. Isto é possível com uma escolha adequada de um referencial inercial,por exemplo: se alinharmos o eixo-x do referencial à direção do movimento do corpo. A demonstração também assume que o corpo se comporta como uma partícula e, por conveniência, vamos assumir que o instante inicial do movimento, ti, é zero, ti = 0, e que o instante final, é tf = t.



Definição de velocidade linear, v:



onde, x = x(t) é a posição do corpo em função do tempo, t.Partindo da definição de aceleração linear, a,

[pic],

temos que

[pic],


com a = constante. Integrando ambos os lados da equação:


[pic]


[pic]


[pic]

Esta é uma das equações cinemáticas do MRUV. Isolando o tempo:

[pic]





Uma segunda equação cinemática é obtida resolvendo a equação diferencial,


[pic] :


[pic]


Aplicando Baskhara para resolver aequação de segundo grau acima, temos:


[pic]


[pic]





Igualando a equação acima com aquela obtida no passo anterior,


[pic]


[pic]


[pic]

Elevando ambos os lados da equação acima ao quadrado:


[pic]


[pic]


[pic]



Escrevendo o deslocamento xf − xi como Δx = (xf − xi)


[pic]



Introduzindo conceitos da dinâmica.

Até aqui, utilizamos apenasconceitos cinemáticos, como deslocamento, velocidade, aceleração e tempo. A partir deste passo, vamos introduzir conceitos da dinâmica: massa, força, trabalho e energia cinética. Multiplicando todos os termos da equação acima pela massa, m, do corpo:


[pic]



Pela segunda lei de Newton, [pic], donde


[pic]



Mas, FΔx é o trabalho mecânico, W,

realizado pela força constante, F,sobre a massa m para deslocá-la por Δx:

[pic]

logo,

[pic]



Neste ponto, introduzimos a definição de energia cinética,

K, como sendo a metade do produto da massa pela velocidade quadrática de uma partícula,


[pic]


temos que

Kf − Ki = W


Fazendo [pic], temos finalmente

W = ΔK

conforme enunciado pelo teorema trabalho-energia. Demonstração: Caso Geral, ForçaVariável

Agora vamos considerar o caso mais geral, em que a força F que atua sobre o corpo não é constante, podendo variar sua direção, sentido e intensidade ao longo do tempo, [pic]. Neste caso, partimos da definição de trabalho,

[pic]

onde, [pic] é o vetor deslocamento. Aplicando a segunda lei de Newton:

[pic]

e a definição de aceleração, [pic],


[pic]


[pic]


cuja solução é[pic]


Introduzindo a definição de energia cinética,


[pic]


W = ΔK

conforme o teorema.






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