Elipse

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Faculdade Alves Faria

ELIPSE

Atendendo aos requisitos da disciplina Geometria Analítica, ministrada pela Professora
Maria Alves Barcelos.

Goiânia, Maio de 2012
Sumário

1- Introdução
2- Apresentação da Elipse
3- Equação reduzida
4- Exercícios resolvidos
5- Exercícios propostos
6- Gabarito

7- Conclusão
8- Bibliografia

1- Introdução

O nome “Elipse” já aparece naGeometria Clássica apresentada por Apolônio, Grego
do Sec. III a.C., porém, apesar de estudadas a mais de 2.000 anos, tem aplicação importante até os dias atuais, quer seja no estudo de órbitas dos planetas do sistema
solar, quer seja na fabricação de alguns tipos de refletores.
Abordamos a Elipse no plano fixado; ficando o estudo restrito à Geometria Anal ítica
Plana. Desta forma, as basesutilizadas neste estudo, estão todas no sistema de co ordenadas ortogonais.
Ao restringirmos a análise da Elipse ao plano ortogonal, podemos nos orientar pelos
conhecimentos de Geometria Analítica Plana, onde toda reta r está descrita pela equação geral de forma ax + by + c = 0, se e somente se (a, b) ≠ 0, e ainda que o vetor
“n” não nulo = (a,b) ortogonal a r .

3- Apresentação da Elipse.

Adefinição dada por Ivan de Camargo e Paulo Bolos, em Geometria Analítica:
“ Sejam F1 e F2, dois pontos distintos num plano qualquer, e sendo 2a um número real maior
que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a
soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a".
Nossa! Credo! Difícil de entender! Mas, vamos tentar explicar.
A Elipse éformada por:

:

* Focos: os pontos F1 e F2.
* Distância focal: |F1F2| = 2c
* Centro: Ponto médio do segmento F1F2
* Vértices: os pontos A1, A2, B1, B2
* Eixo maior: |A1A2| = 2a
* Eixo menor: |B1B2| = 2b
* Excentricidade: é o quociente dado por c/a
Pela definição de elipse temos que: 2c < 2a, então c < a, consequentemente, 0 < e < 1.

Ufa! Se ainda não deu para entender, pelos menos jáconhecemos suas partes...
Vamos lá, tentaremos esclarecer um pouco mais.

Equação geral da Elipse.
A equação reduzida da elipse é:

x2 + y2 = 1
a2 b 2

Esta equação é dada através da dedução a seguir, onde levamos em conta que o
centro da Elipse é a origem do plano ortogonal e que focos pertençam ao eixo x, ou
seja F1 = (-c,0) e F2 = (c,0). Como mostra a figura abaixo.

Neste caso,um ponto qualquer P=(x,y), pertencerá a Elipse quando:

d(F1P) + d(F2P) = 2a
Como já vimos em estudos anteriores: dAB = √(xB - xA)² + (yB - yA)²

Logo:

d(F1P) + d(F2P) = 2a
d(F1P) = 2a - d(F2P)
√(x+c)² + y² = 2a - √(x-c)² + y²
elevando os membros de ambos os lados ao quadrado:

(x+c)² + y² = 4a² - 2.2a.√(x-c)² + y²
x² + 2.c.x + c² + y² = 4a² - 4a√(x-c)² + y² + x² - 2cx + c² + y²
4cx= 4a² - 4a√(x - c)² + y²
(4cx - 4a² = - 4a√(x -c)² + y²) / (4)
(cx - a²)² = (-a√(x - c)² + y²)²
c²x² - 2.cx.a² + (a²)² = a²((x-c)² + y²)
c²x² - 2a²cx + (a²)² = a²(x² - 2cx + c² + y²)
c²x² - 2a²cx + (a²)² = a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²
(a²)² - a²c² = a²x² - c²x² + a²y²
a²(a² - c²) = x²(a² - c²) + a²y²

observando os pontos no plano, temos que:

a² = b² + c², logo b² = a² - c²Substituindo:

(a²b² = x²b² + a²y²)/ (a²b²)
1 = x²/a² + y²/b²

Eeeeehhh...chegamos! Depois desse pequeno desenvolvimento, alcançamos a
equação reduzida da elipse:

x2 + y2 = 1
a2 b2
E bota reduzida nisso!

Muita atenção : Quando apresentar eixo maior na vertical a equação reduzida da
elipse passa ser:

X² + y² = 1
b² a²

4 - Exercícios resolvidos

4.1) Determine a excentricidade daelipse de equação 16x² + 25y² - 400 = 0
Solução: temos que 16x² + 25y² = 400. Observe que a equação da elipse não está em
sua forma reduzida. Vamos dividir ambos os membros por 400. Assim:
(16x² + 25y² = 400)/ (400)

x2 + y2 = 1
25 16
Portanto a² = 25 e b² = 16, logo: a = 5 e b = 4
Sendo a² = b² + c²
25 = 16 + c²
c² = 9
c=3
Então:
e = c/a = 3/5 = 0,6

4.2) Determine a distância focal...
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