Elimina O Gaussiana Exercicios

Exercícios de Álgebra Linear
1o Semestre 2006/2007
João Ferreira Alves

Sistemas de Equações Lineares, Matrizes e Determinantes
Exercício 1 Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:
a)

x + 2y = 1 x + 3y = 0

b)

2x + 3y = 1
4x + 6y = 2


 x+y =1
d) 3x − y = 2

x−y =0


 2a + 2b + 3c = 1 a + 2b + c = 0
e)
 a−b+c =0


 x + 2y + z = 0
4x + 10y + 10z = 0
g)
 x + 3y + 4z = 0

h)


 2x + 2y + 2z + 3w = 3 x+y+z+w =1
j)

3x + 3y + 3z + 2w = 2

 x + z + 2w = 0



2x + 3z + 3w = 0
k)
y + 2w = 2



x + 2z + w = 0

2x + 3y + z = 0 x+y+z =0

c)

4x + 5y = 1
12x + 15y = 0


 x + 2y + 3z = 1
4x + 7y + 7z = 3
f)

2x + 3y + z = 0

i)

2x1 + x2 + x3 + x4 = 1
2x1 + x2 − x3 + x4 = 3

 y1 + y3 + 2y4 = 0



y1 + 2y2 + y3 + y4 = 1
l)
y + 2y4 = 8


 2 y1 + 2y3 + y4 = 0

Exercício 2 Discuta, em função dos parâmetros α e β, os seguintes sistemas de equações lineares:


 x + 4y + 3z = 10
 2x + y + z = −6β
2x + 7y − 2z = 10 b) αx + 3y + 2z = 2β .
a)


x + 5y + αz = β
2x + y + (α + 1) z = 4

Exercício 3 Considere o sistema de equações lineares

 x + y + 3z = b1
2x + 2y − z = b2 ,

4x + 4y + 5z = b3

e calcule os vectores (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 para os quais o sistema é possível.
1

Exercício 4 Determine um sistema de equações lineares cujo conjunto de soluções seja:
a)
b)
c)
d)
e)

S = {(1 + t, 1 − t) : t ∈ R};
S = {(t, 1 − 2t, 1) : t ∈ R};
S = {(3t, 2t, t) : s, t ∈ R};
S = {(3t, 2s, t − 1) : s, t ∈ R};
S = {(1 − t, 2s, t) : s, t ∈ R};

Exercício 5 Sempre que possível calcule:
a) 2

1 0
2 1

+3

0 2
6 1




2
1 0 2  3 
1

d)



1 2
g)  3 1 
0 3

1 0 1
2 1 0

b)

1 2

e)

1 0
0 0

h)

0
2

c)

1 0
0 1

0 1
1 0

f)

0 1
1 0

+




2
 3 
1
1 0
0 0





30 4
1 0 1
1 0 0
 0 1 0  i)  0 1 0   2 10 
2 20
0 0 1
1 0 1


1 2 0
3 1 1











0 0 1
30 4
1 0 0
30 4
1 0 0
30 4
j)  0 1 0   2 10  k)  0 1 0   2 10  l)  0 1 0   2 10 
1 0 0
2 20
0 0 3
2 20
2 0 1
2 20

Exercício 6 Mostre que a