Eletromagnetismo

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Universidade Federal de Minas Gerais
Departamento de Engenharia Elétrica

ELETROMAGNETISMO

João Antônio de Vasconcelos, Dr. 
 

Prof. Titular do Depto. de Engenharia Elétrica - UFMG
E-mail: vasconcelos.joao.antonio@gmail.com

1. Análise Vetorial
Muitas grandezas físicas, além da magnitude, para serem completamente
identificadas, necessitam da direção e do sentido. Alguns exemplos destasgrandezas são: velocidade, força, campo elétrico, campo magnético, etc. Estas
grandezas são denominadas de grandezas vetoriais. Elas são representadas no
espaço por segmentos de retas orientados.
Um segmento orientado possui um ponto inicial e um ponto final, representado
pela ponta da seta. O ponto inicial é o outro ponto extremo.
B
(ponto final)
a = AB

A
(ponto
inicial)

Fig. 1. Segmento orientado a=AB.
Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica - UFMG
© Prof. João Antônio de Vasconcelos

A direção e o sentido do segmento orientado identificam a direção e o sentido do
vetor. O comprimento do segmento orientado representa a magnitude do vetor.
As grandezas escalares são por outro lado, grandezas que necessitam apenas da
informação de sua magnitude. Por exemplo: massa, potencial,comprimento, etc.
Um campo é a denominação dada a toda distribuição de uma grandeza no
espaço. Esta distribuição pode ser escalar ou vetorial, variável ou não com o
tempo. O potencial eletrostático é um exemplo de campo escalar, enquanto o
campo elétrico é um exemplo de um campo vetorial.
Notação: Neste documento, para distinguirmos a diferença entre uma grandeza
escalar e uma vetorial, adotaremoso negrito para identificar as grandezas
vetoriais. Assim, a é uma grandeza vetorial e a é uma grandeza escalar.
Um vetor é representado no espaço por todo segmento orientado, de mesma
magnitude, direção e sentido.
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a
c

b
d

Fig. 2. Segmentos orientados representantes de um mesmo vetor (a = b = c =d).
Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar
A soma a+b, de dois vetores a e b, é determinada da seguinte forma:


considere um segmento orientado que represente a ;



considere um outro segmento orientado que represente b, com origem na
extremidade de a ;



o vetor resultante da soma de a+b é representado pelo segmento orientado
que vai da origem de a até a extremidade de b.Eletromagnetismo – Departamento de Engenharia Elétrica - UFMG
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b

a

a+b

Fig. 3. Soma geométrica de dois vetores a e b.
Da figura 3, é fácil observar que a+b = b+a.

b+a
b

a

Fig. 4. Soma geométrica de dois vetores b e a.
Observamos também que o vetor resultante da soma a+b está na diagonal do
paralelogramo determinado por a e b, quando estes estão representados com amesma origem.

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b

b+
a

a

Fig. 5. Soma geométrica de dois vetores a e b (regra de paralelogramo).

As propriedades mais importantes da adição entre vetores a, b e c são:


Comutativa: a + b = b + a



Associativa: (a + b)+ c = a + (b + c)

Vetor nulo 0: é o vetor cujo ponto final coincide com oponto inicial, isto é, sua
amplitude é zero. A soma de um vetor nulo 0 a um vetor qualquer a é igual ao
próprio vetor a, isto é a + 0 = a.

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Diferença entre dois vetores: a diferença a - b = a + (-b).

a-b
a

b

-b

a

Fig. 6. Diferença entre dois vetores: a - b.
Multiplicação de um vetor a por umescalar α : é determinada pelo vetor que
possui as seguintes características:
a) é o vetor nulo 0, se α = 0 ou a = 0;
(b) caso contrário:
(

(i) tem comprimento |α| vezes o comprimento de |a|,
(ii) a direção é a mesma de a (eles são paralelos),
(iii) tem o mesmo sentido de a, se α > 0, e tem o sentido contrário ao de a,
se α< 0.
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