Eletromagnetismo

Eletromagnetismo

Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência

Resolução Exercícios Propostos r r
Exercício 1: Mostrar que ∇ ⋅ E = 0 para qualquer campo de uma linha unifor-

memente carregada. Analisar.
Resolução:

r
E=

ρl r aρ
2.π .ε 0 .ρ

r r 1 ∂  ρl 
=0
 ρ.
∇⋅E = ρ ∂ρ  2.π .ε 0 .ρ 



1

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Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência

r
Exercício 2: Mostrar que o campo D devido a uma carga pontual tem divergência nula.
Resolução:

r
D=

Para r > 0:

Q r ar 4.π .r 2

r r 1 ∂  2 Q 
∇⋅D = 2
r .
=0
r ∂r  4.π .r 2 

2

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Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência

r r Exercício 3: Dado D = ρ 0 .z.a z para a região definida por − 1 ≤ z ≤ 1 (coordena-

r ρ .z r das cartesianas) e D = 0 az para os demais pontos do espaço, pede-se a z densidade de cargas em todos os pontos. Analisar os resultados obtidos.

r r
Devemos calcular ∇ ⋅ D = ρ V para três regiões:

Para − 1 ≤ z ≤ 1 :

ρV =

∂
(ρ 0 .z ) = ρ 0
∂z

Para z < −1 e z > 1 :

ρV =

∂
(m ρ 0 ) = 0
∂z

3

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Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência

( )

r 10.x 3 r
Exercício 4: Dado D = ax C 2 , pede-se calcular ambos os lados do m 3
Teorema da Divergência para o volume de um cubo, com 2m de aresta, centrado na origem e com os lados paralelos aos eixos. Analisar fisicamente os resultados obtidos.

r

r

r r

∫ D ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ D.dV

S
123
4 4
I

vol

1 24
4 3
II

r r
Notar que D ⋅ dS é zero em todas as faces, exceto para x = 1m e x = -1m,

ou seja:
(I):

3
1 1 r r 1 1 10.(1)3 r r r
10.(− 1) r
40 40 80
D ⋅ dS = ∫ ∫ ax.(dy.dz.ax ) + ∫ ∫ ax.(− dy.dz.ax ) =
+
=
∫
1 24
4r 3
14243 3
3
3
3
3 r −1 −1
−1 −1
S
dS

(C)

dS

4

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Eletromagnetismo

(C m )

r r ∂  10.x 3 
2
∇⋅D = 

 3  = 10.x