eletro

ALGEBRA LINEAR ( 22/04/2013 )

Seja o conjunto V, onde se verificam as operações de ADIÇÃO e MULTIPLICAÇÃO por escalar (α): u, v V, ( u+v) V α R e u V, α . u V
Espaço vetorial é o conjunto V, onde se verificam as operações de ADIÇÃO e MULTIPLICAÇÃO por um ESCALAR.
Exemplo: conjunto dos números naturais→ é espaço vetorial?
Verificação: (2,5) → (2+5=7 N), (-3.2=-6 e -3.5=-15 N), logo o conjunto N não é espaço vetorial.
O conjunto V é considerado espaço vetorial se forem verificados os seguintes AXIOMAS.

I) Em relação a ADIÇÃO
A1) (u+v)+w = u+(v+w), u,v e w V ( propriedade associativa);
A2) u+v = v+u, u,v V (propriedade comutativa);
A3) 0 V, u V, u+0 = u ( 0 é o elemento nulo na adição);
A4) u V, (-u) V, u+(-u) = 0 ((-u) é o oposto).

II) Em relação a MULTIPLICAÇÃO por ESCALAR (α), (β)
M1) (α. β).u = α.(β.u), α, β R e u V, (propriedade associativa);
M2) (α+β).u = α.u+β.u, α, β R e u V, (propriedade distributiva do elemento);
M3) α (u+v)= α.u+α.v, α R e u, v V, (propriedade distributiva do escalar);
M4) 1.u = u, u V, ( 1 é o elemento neutro da multiplicação).

Exemplo
1)Verifique se o conjunto V=R2 {(x,y), x, y R}?

(x1, y1) + (x2, Y2) = (x1+x2), (y1+y2); α (x1, y1) = (α. x1 , α.y1)
I) Em relação a ADIÇÃO
A1) (u+v)+w = u+(v+w), u,v e w V ( propriedade associativa); u(x1, y1); v(x2, y2); w(x3, y3)
(u+v)+w → (x1, y1 + x2, y2) + (x3, y3) → (x1+ x2 , y1+ y2) + (x3, y3) →
(x1+ x2+ x3 , y1+ y2+ y3) →(x1+ (x2+ x3) , y1+( y2+ y3)) u+(v+w) →(x1, y1) + ((x2, y2) + (x3, y3)) →(x1+ x2+ x3 , y1+ y2+ y3) →
→ (x1+ (x2+ x3) , y1+( y2+ y3))

A2) u+v = v+u, u,v V (propriedade comutativa);
(x1, y1 + x2, y2) = (x2, y2 + x1, y1) →(x1+ x2 , y1+y2) = (x2 + x1 , y2+y1)

A3) 0 V, u V, u+0 = u ( 0 é o elemento nulo na adição);
(x1, y1) + (0 , 0) = (x1+0 , y1+0) = (x1, y1) = u

A4) u V, (-u) V, u+(-u) = 0 ((-u) é o oposto).
(x1, y1)+ (-x1, -y1) = (x1+(- x1) , y1+(- y1)) = (0 , 0)
II) Em relação a