Elementos finitos

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Introdução
O Método dos Elementos Finitos é um método de solução aproximada de equações diferenciais muito úteis em ciência e engenharia. Ele possibilita a simulação de situações reais em um espaço discreto, cujo limite infinitesimal tende ao contínuo. A visualização computacional também tem seguido a implementação dos cálculos por este método permitindo uma análise visual das situaçõesdeterminadas através do cálculo numérico.
A ideia básica do Método dos Elementos Finitos consiste em subdividir, inicialmente, o domínio do problema, em subdomínios de dimensões finitas tais que, o conjunto de todos os subdomínios seja igual ao domínio original. Em seguida, sobre cada subdomínio, isoladamente, adota-se um comportamento aproximado, local, para as incógnitas do problema, conformeesquematiza a Figura - 2. 1.
Em geral, esse comportamento local é descrito com o emprego de funções simples. A característica principal desse procedimento, então, consiste em utilizar aproximações locais nos subdomínios, nos quais o domínio original foi dividido, em vez de utilizar aproximações de caráter global. Para a obtenção de respostas cada vez melhores, aumenta-se o número de subdomínios,mantendo-se o mesmo comportamento local já adotado em cada subdomínio, no lugar de se adotar funções de ordem maior na aproximação de caráter global. Os subdomínios são denominados elementos finitos.
Os elementos finitos são definidos por sua forma geométrica, pelas funções de aproximação adotadas e pelos tipos de problemas para os quais foram desenvolvidos. Cada elemento possui um número determinado depontos nodais, ou nós, que podem ser internos ou externos. Os nós externos fazem a conexão com os elementos vizinhos.

Figura - 2. 1. Rede de pontos nodais do Domínio, Ω e dos Subdomínios, Ω e.

Nos nós comuns aos diferentes elementos, o valor das variáveis do problema é o mesmo, independentemente do elemento que esteja sendo considerado.
Após a definição da malha de elementos finitos e dotipo de elemento (linear, triangular, quadrático, etc), as matrizes características correspondentes a cada elemento podem ser formadas e, em seguida, agrupadas, formando o sistema global de equações. A solução deste sistema fornece os valores das incógnitas nos pontos nodais. Através do comportamento aproximado local, as incógnitas do problema, em qualquer ponto do elemento, são calculadas em funçãodos valores nodais das mesmas incógnitas nos pontos nodais já conhecidos, isto é, as aproximações locais são funções de interpolação, por meio dos quais os valores das incógnitas em qualquer ponto pertencente ao elemento finito são calculados em função dos valores nodais.

A origem do Método dos Elementos Finitos

O trabalho de Turner, Cough, Martin e Topp “Stiffness and Deflection Analysisof Complex Structures” publicado em 1956 no Journal of Aeronautical Sciences. Vol. 23, pag. 805-823, é reconhecido como um dos primeiros a apresentar os fundamentos do Método dos Elementos Finitos.
As bases teóricas do método foram mais bem definidas no início da década de 60 com o estudo mais aprofundado dos Métodos Energéticos e de Técnicas Variacionais.

Variações dos Modelos no Método deElementos Finitos

* Modelo Compatível

Baseia-se no Princípio da Energia Potencial Mínima. Sobre cada elemento é adotado um campo de deslocamento, escolhidos de tal maneira que haja continuidade de deslocamentos e, eventualmente, de suas derivadas, entre os elementos. As incógnitas são os deslocamentos nos pontos nodais.

* Modelo de Equilíbrio

Baseia-se no Princípio da EnergiaComplementar Mínima. Sobre cada elemento é adotado um campo de tensões em equilíbrio; o equilíbrio entre elementos também é mantido. As incógnitas são as tensões nos pontos nodais. É um modelo pouco utilizado na prática.

* Modelo Híbrido

Há dois tipos. O primeiro tipo se baseia em um Princípio de Energia
Complementar Mínima Modificado. No interior de cada elemento é adotado um campo de...
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