El juego de nim

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EL NIM (Un juego de estrategia binaria).
Hay un juego, el Nim, que basa su estrategia ganadora en el código binario. Los jugadores son
dos y las reglas son las siguientes: se colocan en una mesaalgunos montoncitos de fósforos de
los que, por turno, cada jugador puede quitar todos los fósforos que quiera retirando fósforos
de un solo montón, inclusive, el montón entero; el que consigallevarse el último fósforo es el
ganador.
Si intentamos jugar una partida juntos, nos daremos cuenta que no es un juego sencillo, sobre
todo en sus primeros movimientos, porque no resulta fácil sabercuántos fósforos conviene
retirar en cada jugada para lograr quedarse con la última y ganar así la partida.
Supongamos que tenemos cuatro montoncitos de uno, tres, cinco y siete fósforos respectivamente.Dejamos por cortesía, que sea el lector que haga el primer movimiento…

…y éste empieza por quitar dos fósforos del montón que tiene cinco:

Nos toca a nosotros y quitamos seis del montoncitoque tiene siete, que, de esta forma, se
queda con un solo fósforo.

1

Después de la primera jugada, la situación de los montones es 1, 3, 3 y 1:

Le toca al lector y suponemos que retirará ensu totalidad uno de los montoncitos de tres fósforos que han quedado. Entonces, nosotros quitamos el segundo montoncito que también es de
tres fósforos. La situación es la que nos describe lasiguiente figura:

¿Qué hace nuestro lector? ¿Se da por vencido?
En el juego del Nim subyace una estrategia binaria, que podemos dominar desde la primera
jugada. No en vano, o por cortesía, le hemosdejado al lector que jugara primero: si lo hubiésemos hecho nosotros, difícilmente habríamos retirado el último fósforo. ¿Cuál es la estrategia
oculta?
Vamos a transcribir los números de fósforos de loscuatro montoncitos, es decir 1, 3, 5 y 7, en
código binario:
1(10)
1(2)
3(10)
11(2)
5(10)
101(2)
7(10)
111(2)
Observando los números en binario se tiene que en la primera columna, de...
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