Eixo das abscissas para uma dft / fft

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DFT/FFT – UFPA - Outubro/2006

Discussão sobre como gerar o eixo das abscissas para uma DFT / FFT:

A DFT é geralmente usada para analisar vetores que representam N amostras (eventualmente quantizadas) de sinais originalmente analógicos. Depois de haver a amostragem, este sinal passa a ser representado por estes N números, que compõem um simples vetor, não tendo informação acerca de qualfreqüência de amostragem foi utilizada ou qual a duração do sinal (em segundos, por exemplo) que corresponde a estas N amostras. Como não há informação de "segundos" (tempo) no vetor de entrada da DFT, a mesma não pode fornecer um vetor de saída com informação em "Hz" (freqüência). A “ligação” entre as amostras e os instantes de tempo decorrentes entre elas é dada pela freqüência de amostragem fs. Estevalor de fs precisa ser indicado explicitamente pelo usuário para se poder gerar e interpretar o resultado da DFT em Hz. Segue um exemplo.

Ex: Geração de um cosseno amostrado de 5 V de amplitude, freqüência de 10 Hz e fase de 90 graus, com duração de 2 segundos, com freqüência de amostragem de fs = 40 Hz (Ts = 1 / fs). No Matlab fica:
Ts=1/40;
t=0:Ts:2;
x=5*cos(2*pi*10*t+pi/2);

Pode-sesaber quantas amostras este sinal tem usando-se a instrução N=length(x), que deve dar 81.

Use a instrução stem(x) e observe que a abcissa não corresponde a segundos, e sim ao índice do vetor x. Para inserir a informação de tempo, é necessário fazê-lo explicitamente com a instrução stem(t,x). A mesma coisa deve ser feita com a DFT. Para usar a DFT basta saber como gerar o eixo de freqüências emHz.

Enquanto a transformada de Fourier para sinais discretos no tempo (DTFT) apresenta o espectro de um sinal discreto no tempo em um eixo de freqüências contínuo (ao longo do círculo unitário), a DFT tem necessidade de discretizar este eixo de freqüências, apresentando seus resultados apenas em algumas delas. Outro detalhe é que a parte correspondente ao espectro do nível DC até a maiorfreqüência vem antes da parte de freqüências negativas do espectro. O espaçamento (f entre estas freqüências (chamadas de raias de freqüências) é sempre o mesmo. O cálculo de (f é simples pois (w = (2π fs)/N e (w = 2π (f. Outra maneira de entender tal equação é vendo que (f corresponde ao inverso do tempo de duração do sinal sob análise, ou seja, o tempo que corresponde às N amostras do sinal de entrada x.Sabendo-se que o intervalo de tempo entre 2 amostras é o período de amostragem Ts, o tempo correspondente a N amostras é duração_do_sinal = N Ts. Sendo assim, o intervalo entre as raias de freqüência da DFT é (f=1/ (N Ts). Para o cosseno do exemplo anterior (f=1/(81 x 0,025) = 0,4938 Hz. Lembre-se que (f tem ainda uma outra interpretação, podendo ser descrito como (f = fs / N.

Sabe-se entãoque a DFT irá corresponder a N raias de freqüência, com espaçamento (f entre elas. Com esta informação, o eixo das freqüências pode ser gerado para uma interpretação adequada do espectro do sinal. Há ainda um detalhe: a DFT representa não só as freqüências positivas do espectro mas também as negativas. A DFT sempre usa uma raia para representar o nível DC (0 Hz). Se N é par, a raia correspondente aN/2 representa exatamente metade da freqüência de amostragem (também chamada freqüência de Nyquist), e sobram (N-2)/2 raias para representar as freqüências (positivas) de ]0, fs/2[ e também (N-2)/2 raias para as freqüências (negativas) de ]-fs/2, 0[. No caso de N ser ímpar, a DFT não representa exatamente a freqüência de Nyquist (fs/2). Nesse caso, (N-1)/2 raias são usadas para representar asfreqüências (positivas) de ]0, fs/2[ e também (N-1)/2 raias para as freqüências (negativas) de ]-fs/2, 0[.

Para o exemplo do cosseno, N=81, tendo-se 40 raias na parte negativa e 40 na parte positiva do espectro. A separação entre as raias (f=1/ (N Ts) = 0,4938 Hz. A freqüência da i-ésima raia é i vezes (f (i x (f). A maior freqüência é então 40 vezes (f = 19,752 Hz e a menor freqüência é -40...
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