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O PROBLEMA DA CARTA
Arthur Braga Vidal (13/0006246) e Yan Siqueira Santiago (13/0018767)

DESCRIÇÃO DO PROBLEMA
João era um homem muito simples e humilde, vivia em sua fazenda, sozinho, na maior paz do mundo. Além disso, era um rapaz muito apaixonado por sua namorada Maria, quem morava a 200km da fazenda de João. No dia 12 de Junho, João teve a ideia de mandar uma carta para sua namorada, porém não tinha condições de pagar a entrega. Seu vizinho e amigo, Paulo, que era primo de Maria, tinha um pombo correio e decidiu emprestá-lo a João para fazer a entrega da carta, já que o pombo ja tinha ido á casa de Maria. O único problema é que o pombo, por um acidente quando ele ainda era pequeno, tinha os pés tortos, e, por isso, só conseguia levar uma carta em forma de coração, de modo que o perímetro do coração fosse 50 cm, conforme a figura 1.

FIGURA 1 (Forma da carta e pombo correio)

SOLUÇÃO DO PROBLEMA
Conforme a figura 2, pode-se perceber que a carta em forma de coração é composta por 2 semi círculos iguais de raio “r” e um triângulo isósceles, de lados “a”, “a” ,“4r” e altura “a”.

Figura 2 (desenho esquemático)
Como dito no descrição do problema, o perímetro da carta é de 50cm. Então: 2p = 2a + 4r + 2πr = 50cm
Isolando-se o 2a, a equação, tem-se : 2a = 50 - 4r - 2πr (1)

A área da carta pode ser calculada como a área do triângulo somada à área de um círculo completo, já que são dois semi círculos iguais. Logo: Área = + πr² = 2ra + πr² (2)
Substituindo (1) em (2), temos : Área = r (50 - 4r - 2πr) + πr² = 50r - 4r²- 2πr² + πr² = 50r - 4r² - πr²

Encontrando os pontos críticos:

Para saber se o ponto é máximo ou mínimo global, faz-se o estudo da segunda derivada:

Como a