Efeito Das Dimens Es Na Energia De Fermi

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1
Efeito das dimensões na Energia de Fermi
Alexandre da Silva Maciel
21st March 2012

Sabemos que o valor esperado do número de ocupação de um orbital para férmions é
dado pela expressão:
hnj i =onde

=

1
,
kB T

1
exp [ (

(1)

)] + 1

j

sendo kB a constante de Boltzmann e , o potencial químico. Essa expressão

é conhecida como distribuição de Fermi-Dirac. O número de partículas do sistema édado
então por
N=

X
j

hnj i =

X
j

1
exp [ (

j

(2)

)] + 1

No limite T = 0, o valor médio do número de ocupação hnj iF:D é dado por:
8
< 1 se
j
hnj iF:D
=
(
)
=
j
T =0
: 0 se j >
Em T = 0 opotencial químico

é identi…cado como a energia de Fermi

F

(3)
do sistema (a

energia do maior estado ocupado). O número de partícula pode ser calculada diretamente
usando a equação (3).
N=

X
j

hnjiF:D
T =0

(4)

A soma sobre todos os estados de uma parrtícula pode ser reescrita em termos de uma
integral.

X
k

V
!
(2 )3

Z

d3 k

(5)

Podemos escrever essa integral em termos da energia daseguinte maneira. Para uma
partícula livre não-relativisticas o espectro de energia é dado por
p
~ = 1, temos que k = 2m , assim temos:
p
Z
Z
X
V
V m 2m 1 1
3
2
dk=
!
3
2
2
(2
)
0
k

= ~2 k 2 =2m. Fazendo(6)

2
Essa formulação também pode ser derivada considerando o espaço de fase clássico. A quantidade

p
Z 1
Z
V m 2m 1
d3 rd3 k
V
2
k dk =
= 2
=
2
2 2
(2 )3
0
0
é o número de estados no espaço defases de uma partícula, e
p
d
V m 2m 1
2
g( ) =
=
d
2 2
Z

1
2

(7)

(8)

é interpretado como a densidade de estado de uma partícula. Portanto em 3D o número de
particulas em T = 0 é dado por
N =

Z

1g( ) (
)d
p
Z F
1
V m 2m
2
=
2
2
0
p
V m 2m 2 32
=
2 2
3 F
0

Assim temos

p
m 2m
n=
2 2

2
3

3
2

(9)

F

Usando este resultado podemos escrever kF em termos de n da seguinte maneira.
=

3 2n
mkF2
=
2m

3 2n
m

F

kF2 = 6 2 n
kF = 6 2 n

2
3

(2m)
2
3

(2m)

1
3

1
3

2
3
1
3

(10)

Para 2D temos:
N =

Z

1

g( ) (
Z F
Am
d
=

)d

0

0

=
n =

Am

F

m
F

(11)

3
Do mesmo jeito podemos...
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