EDO e queda livre

Páginas: 6 (1343 palavras) Publicado: 17 de fevereiro de 2014
3. QUEDA LIVRE

Em uma região em torno da Terra todos os corpos sofrem influência da força gravitacional. Tal região é denominada campo gravitacional.
A força que a Terra exerce sobre os corpos situados em seu campo gravitacional é denominada força peso, representada pela letra P.
Essa força, que é sempre dirigida para o centro da Terra, é que faz os corpos caírem sobre ela.
Omovimento que os corpos realizam no vácuo nas proximidades da Terra é denominado Queda Livre.
Galileu Galilei realizou uma série de experiências sobre a queda livre dos corpos e chegou às seguintes conclusões:
Todos os corpos, independentemente de sua massa, forma ou tamanho, caem com a mesma aceleração.
As distâncias percorridas por um corpo em queda livre são proporcionais ao quadrado dos temposgastos em percorrê-las, isto é, a função horária das posições, , é do 2º grau.
A aceleração constante que age sobre o corpo em queda livre é denominada aceleração da gravidade, sendo representada pela letra g.
Portanto, se a aceleração da gravidade é constante e a função horária das posições é do 2º grau, decorre que a queda livre é um MRUV (Movimento Retilíneo Uniformemente Variado) sendoválidas todas as funções e conceitos desse movimento adotados no Ensino Médio.

Assim, suponha que um corpo seja lançado para baixo com uma velocidade inicial (veja a Figura 1).


Figura 1. O corpo é lançado para baixo com uma velocidade inicial . A aceleração do movimento é a aceleração da gravidade

O corpo é lançado para baixo, a partir da posição , com uma velocidade inicial . A aceleraçãodo movimento é a aceleração da gravidade.
Após cair durante um tempo , como sua aceleração é , ele terá uma velocidade dada por

e percorrerá uma distância dada por

em que e é a posição do corpo no instante .

Como consequência, é também válida a relação

entre e .
Estas mesmas equações podem ser empregadas para o movimento de subida, bastando lembrar que, neste caso, omovimento é retardado (aceleração negativa).


3.2. Lançamento vertical para baixo

Seja um corpo lançado verticalmente para baixo, no vácuo, com velocidade inicial,

Observe que:

Na descida a aceleração da gravidade é positiva, pois concorda com o sentido positivo da trajetória.
Na descida o movimento é uniformemente acelerado.
Quando se diz que o corpo foi abandonado, sua velocidadeinicial é zero .

3.2.1. Aplicações

1- Um corpo é abandonado do alto de uma torre de 125 metros de altura em relação ao solo. Desprezando-se a resistência do ar e admitindo-se , pede-se:



a) A função

Resolução:
A expressão com , e torna-se



b) A função

Resolução:
A expressão com e torna-se



c) O tempo gasto para o corpo atingir o solo.Resolução:
Da expressão com e nos dá

, ou seja




d) A velocidade do corpo ao atingir o solo.

Resolução:
Da expressão com e obtemos





4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM
4.1. Teoria Preliminar

Problema de Valor Inicial

Estamos interessados em resolver uma equação diferencial de primeira ordem

sujeita à condições iniciais, em que é um número no intervalo I ey0 é um número arbitrário. O problema
Resolva:

Sujeito a
é chamado de problema de valor inicial. Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação diferencial, definida em algum intervalo I tal que o gráfico da solução passe por um ponto (x0,yo)determinado a priori.




4.2. Equações Separáveis

Se é uma função continua dada, então a equação de primeira ordem(1)
pode ser resolvida por integração. A solução para (1) é
.
A equação (1), bem como seu método de resolução, é apensa um caso especial do seguinte:

DEFINIÇÃO Equação Separável
Uma equação diferencial da forma

é chamada separável ou tem Variáveis separáveis.

Observe que uma equação separável pode ser escrita como...
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