Edo de primeira ordem

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
P ROF. M SC.: Cassius Gomes de Oliveira
Parte 2: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
2012/2

. – p.1/67

E.D.O.’ S

DE PRIMEIRA ORDEM

EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM Definição: Uma equação diferencial de primeira ordem da forma
a1 (x) dy + a0 (x)y = g(x), dx a1 (x) = 0

é denominada equação linear. Definição: Quando g(x) = 0 temos uma equaçãodiferencial linear homogênea. Caso contrário a equação é não homogênea.

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E.D.O.’ S

DE PRIMEIRA ORDEM

FORMA PADRÃO: Dividindo ambos os lados da equação
a1 (x) dy + a0 (x)y = g(x), dx

por a1 (x), obtemos:
dy + P (x)y = f (x). dx

sendo
a0 (x) P (x) = a1 (x)

e

g(x) f (x) = a1 (x)

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E.D.O.’ S

DE PRIMEIRA ORDEM

Se a função P (x) = 0, temos uma E.D.O. deprimeira ordem na forma: dy = f (x) dx que é resolvida através da integração de ambos os lados da última equação. Logo, neste caso, a solução geral da E.D.O. de primeira ordem é dada por:
y= f (x)dx + C

EXEMPLO: Determinar a solução geral da E.D.O.:
dy = sen(2t) dt
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E.D.O.’ S

DE PRIMEIRA ORDEM

Algumas soluções da E.D.O.:

dy = sen(2t) dt
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E.D.O.’ S

DEPRIMEIRA ORDEM

Solução de E.D.O.’s lineares de primeira ordem (CASO GERAL) Neste caso, vamos considerar equações na forma padrão:
dy + p(t)y = f (t) dt

(1)

Neste caso, vamos definir uma função auxiliar µ(t), de forma que ao multiplicarmos (1) por esta função, obtemos uma equação linear com p(t) = 0. Uma função com esta propriedade é chamada de fator integrante da equação linear. Estefator integrante, para as E.D.O.’s lineares é da forma:
µ(t) = e
p(t)dt

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E.D.O.’ S

DE PRIMEIRA ORDEM

Mostrando que µ(t) = e (1).

p(t)dt

é um fator integrante da E.D.O.

Inicialmente, note que:
dµ =e dt
p(t)dt

d dt

p(t)dt

ou seja,
dµ = µ(t)p(t) dt

Multiplicando a equação (1) por µ(t), obtemos:
µ(t) dy + µ(t)p(t)y = µ(t)f (t) dt

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E.D.O.’S

DE PRIMEIRA ORDEM

Note que o lado esquerdo da última equação é a derivada do produto entre µ(t)f (t). Logo, temos que:
d [µ(t)y(t)] = µ(t)f (t) dt

(2)

Note que a equação (2) pode ser escrita na forma:
dY = g(t) dt

sendo Y (t) = µ(t)y(t) e g(t) = µ(t)f (t). Logo, a solução geral da expressão (2) é dada por:
µ(t)y(t) = µ(t)f (t)dt + C

(3)

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E.D.O.’ S

DEPRIMEIRA ORDEM

Sendo µ(t) = 0, podemos dividir a expressão (3) por µ(t) e assim, obtemos:
1 y(t) = µ(t) µ(t)f (t)dt + C

EXERCÍCIO: Através do fator integrante, determine uma solução do P.V.I.:   dy + 2 y = t  dt t   y(2) = 3

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E.D.O.’ S

DE PRIMEIRA ORDEM

EXERCÍCIO 1: Resolva os seguintes P.V.I.’s:   y + (1 − 2x)y = xe−x 
y(0) = 2

(a)

(b)

 t2 +sen(t)  y− cos(t)y = te 
y(0) = 2

EXERCÍCIO 2: Resolva o seguinte P.V.I.:
y + 5x4 y = x4 y(0) = p

(a) Para quais valores de p a solução é crescente e para quais valores de p é decrescente. (b) Qual o comportamento da função y(x) quando x tende ao +∞ ?
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E.D.O.’ S

DE PRIMEIRA ORDEM

EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS Definição: As equações diferenciais ordinárias de variáveisseparáveis, podem ser escritas na forma:
dy g(y) = f (x) dx

(4)

Assim, seja h(y) =

g(y)dy . Logo, dh = g(y) dy

Logo, da expressão (4), obtemos:
dh dy = f (x) dy dx
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E.D.O.’ S

DE PRIMEIRA ORDEM

Pela Regra da Cadeia, temos:
d dh dy h(y(x)) = dx dy dx

Logo, a expressão (4), pode ser escrita na forma:
d h(y(x)) = f (x) dx

(6)

Novamente, a expressão (6) é daforma:
dY = f (x) dx

(7)

sendo Y (x) = h(y(x)).

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E.D.O.’ S

DE PRIMEIRA ORDEM

Integrando-se ambos os lados da expressão (7), obtemos:
h(y(x)) = f (x)dx + C

EXEMPLO: Determine uma solução geral da E.D.O.:
dy 2y = −4x dx

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E.D.O.’ S

DE PRIMEIRA ORDEM

Soluções da E.D.O., do exercício anterior como curvas de nível do parabolóide elíptico z = F...
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