Ed 4 semestre eng. civil

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Exercício 1 – Resposta E

Na posição de equilíbrio a elongação da mola é igual a amplitude do movimento:

Fm=k.ym

Na análise das forças, o módulo da força da mola acaba sendo igual a força peso:

Fm=P

k.ym=m.g

k.0,05=4.10

k=800 (N/m)

A energia mecânica do sistema é dada por EM=0,5.k.(ym)^2

EM=0,5.800.0,05^2

EM=1 J

Como no estado de equilíbrio tem apenas energiacinética, a energia cinética acaba sendo
igual a energia mecânica do sistema.

EM=ECequilíbrio=1 J

Exercício 2 – Resposta B

A energia mecânica é a soma da energia cinética com a energia potencial em qualquer posição
do movimento, então:

EM=EC+EP

Logo:

1=0,5.m.v^2+0,5.k.x^2

Substituindo:

2=4.v^2+800.0,02^2

4.v^2=1,68

v=0,648 m/s

Exercício 3 – Resposta D

Calcula ovalor da pulsação por w=2.pi.f

w=2.3,14.2,5

w=15,7

Calcula a amplitude através da fórmula dada:

ym=(y(0)^2+(v(0)/w)^2)^1/2

ym=(0,011^2+(0,011/15,7)^2)^1/2

ym=0,0146 m = 1,46 cm

Exercício 4 – Resposta A

A amplitude da velocidade de um MHS é calculada por vm=ym.w

vm=1,46.15,7

vm=22,9 (cm/s)

Exercício 5 – Resposta D

Primeiro analisamos as forças envolvidas nomovimento:

-Fm-Fv=Fr

Fm = Força da mola; Fv = Força viscosa; e Fr = Força resultante.

-y.k-v.b=m.a

Substitui se o que der e resolve se a equação diferencial:

-y.32000 -v.640 -80.a=0 (divide por 80)

-y.400-v.8 -a=0

Resolvendo a equação diferencial, chega-se ao seguinte:

y=e^(-4t).[A.cos(19,6t) + B.sen(19,6t)]

Derivando a equação acima obtemos a equação da velocidade:

V=-4.e^(-4t) .[A.cos(19,6t) + B.sen(19,6t)] + e^(-4t) .[-19,6.A.sen(19,6t) + 19,6.B.cos(19,6t)]

Substituindo as condições iniciais, descobre-se o valor de A e de B, chegando a equação do
movimento completa:

y= e^(-4t) .[0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t)]

Agora termina-se de resolver o exercício:

y(0,4) = e^(-4.0,4).[0,492.cos(19,6.0,4) + 0,609.sen(19,6.0,4)]

y(0,4) = 0,202.[0,0069+0,6089]y(0,4) = 0,124 m

Exercício 6 – Resposta E

Para saber onde o instante em que o corpo passa pela origem deve-se igualar a equação do
movimento a zero e descobrir a raiz de mais baixo valor.

0 = e^(-4t) .[0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t)]

A raiz de mais baixo valor será obtida pela parte oscilante da equação, então:

0 = 0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t)

- 0,492.cos(19,6t)= + 0,609.sen(19,6t)

-0,492/0,609 = tg(19,6t)

tg(19,6t) = -0,808

19,6t = -0,679

O valor encontrado é negativo, a tangente tem uma periodicidade de Pi rad, então basta
somar Pi ao valor de - 0,679:

19,6t=2,462

t = 0,126 s

Exercício 7 – Resposta D

Em amortecimento crítico o valor equivalente a metade da razão entre a constante de
viscosidade e a massa, é igual à velocidadeangular inicial que é igual a raiz quadrada da razão
entre a constante elástica e a massa, logo:

0,5.b/m = (k/m)^(1/2)

0,5.b/80 = (32000/80)^(1/2)

0,00625.b = 20

b = 3200 N.s/m

Exercício 8 – Resposta B

A equação que descreve uma situação de amortecimento crítico é:

y= (C1 + C2.t).e^(-g.t)

Aplicando as condições iniciais e calculando o valor de g, encontramos a equação:g = 0,5.b/m

g = 20

0,1 = (C1 + C2.0). e^(-20.0)

0,1 = (C1 +0).1

0,1 = C1

v = C2.e^(-g.t) + (0,1 + C2.t).(-20).e^(-20.0t)

2 = C2.e^(-g.t0) + (0,1 + C2.0).(-20).e^(-20.0)

2=C2 -2

C2 = 4

y = (0,1 + 4.t). e^(-20.0t)

As raízes da equação nos darão os instantes em que o corpo está na posição de equilíbrio:

0 = (0,1 + 4.t). e^(-20.0t)

0 = (0,1 + 4.t)

-0,1 = 4.t

t= -0,025 s

E a outra raiz, como não existe logaritmo de zero, colocamos um numero muito pequeno no
lugar de zero = 0,001

0,001 = e^(-20.0t)

-6,9077 = -20.t

t= 0,345 s

A diferença entre os dois instantes dará o intervalo necessário para que o corpo volte para
posição de equilíbrio:

T = 0,345 - (- 0,025)

T = 0,37 s

Exercício 9 – Resposta C

A = 2.ym.cos[(Pi/4).0,5]...
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