Ecologia

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 6 (1259 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 11 de novembro de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
Progressão Geométrica, PG

1 – Definição
Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer sequência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.
Exemplos:

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1
(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, ...)PG de razão -3
2 - Fórmula do termo geral
Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3
................................................................................................
Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.
Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k
Exemplos:
a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela fórmula:
a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024
b) Sabe-se que oquarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4
Então q4 =16 e portanto q = 2.
Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:
(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.
3 - Propriedades principais
P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dostermos imediatamente anterior e posterior.
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc.
P2 - o produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2
4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculoda soma dos n primeiros termos Sn , vamos considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q .
Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo,vem:
Sn . q = Sn - a1 + an . q
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:
[pic]
Se substituirmos a n = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:
[pic]0
Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:
[pic]
Observe que neste caso a1 = 1.
5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitadaConsidere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:
[pic]
Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:
[pic]
Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50
6 –Exercícios resolvidos e propostos
6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os tres primeiros termos , pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2 .
Solução:

Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq).
Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:
x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:
x3 =729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.
Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q
É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:
9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0
Multiplicando ambos os membros por q, fica:
9 + 9q2 – 30q = 0
Dividindo por 3 e ordenando, fica:
3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q =...
tracking img