EaDMAT 018 C lculo II

Universidade Federal de Roraima
Pró-reitoria de Ensino e Graduação
Núcleo de Educação a Distância
Centro de Ciências e Tecnologia
Departamento de Matemática

CÁLCULO II
Curso de Licenciatura em
Matemá ca a Distância

M´ odulo 1
A Integral Definida
O principal objetivo deste m´odulo ´e o estudo da integral definida de fun¸co˜es reais definidas em intervalos fechados e limitados, com ˆenfase no caso em que as fun¸co˜es consideradas s˜ao cont´ınuas. O resultado central aqui apresentado ´e o Teorema Fundamental do C´alculo para fun¸co˜es cont´ınuas, o qual permite a obten¸ca˜o da integral definida de certas fun¸co˜es de maneira autom´atica. Enfatizamos tamb´em como a integral definida ´e uma ferramenta importante para o c´alculo de a´reas de regi˜oes planas.
Usamos a integral definida para introduzir, de maneira rigorosa, a fun¸ca˜o logar´ıtmica, cujas propriedades b´asicas s˜ao discutidas detalhadamente.
Finalmente, definimos a fun¸ca˜o exponencial como a inversa da fun¸ca˜o logar´ıtmica e discutimos detalhadamente as suas propriedades b´asicas.

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CEDERJ

A integral definida. Motiva¸c˜ao.

´
MODULO
1 - AULA 1

Aula 1 – A integral definida. Motiva¸ c˜ ao.
Referˆ
encias: Aulas 1 e 2 de
C´
alculo I.

Objetivos
Compreender um argumento, de car´ater geom´etrico, que permitir´a calcular a a´rea de certas regi˜oes planas.

Consideremos uma fun¸ca˜o f : [a, b] → R cont´ınua em [a, b] e tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Vamos discutir a seguinte pergunta:

Como calcular a a´rea da regi˜ao R compreendida entre o gr´afico de f , o eixo das abscissas e as retas x = a e x = b? (Ver a Figura 1.1).

R

a

b

Figura 1.1
Por exemplo, se f : [0, 2] → R ´e definida por f (x) = 1 para todo x ∈ [0, 2], ent˜ao os nossos conhecimentos de Geometria Plana nos dizem que a a´rea da regi˜ao compreendida entre o gr´afico de f , o eixo das abscissas e as retas x = 0 e x = 2 ´e 2 (ver a Figura 1.2).

1

0

1

2

Figura 1.2
Os nossos conhecimentos de Geometria Plana tamb´em nos garantem